Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67711 / 47744
↖ ↑ ↗
← N 43.834527°
E  5.973816°		 ← 220.27 m → N 43.834527°
E  5.976562°		 →
↑
220.31 m
↓
↑
220.31 m
↓
N 43.832546°
E  5.973816°		 ← 220.28 m →
48 528 m²		 N 43.832546°
E  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516597747802734 y=0.364261627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516597747802734 × 217)
    floor (0.516597747802734 × 131072)
    floor (67711.5)     		tx = 67711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364261627197266 × 217)
    floor (0.364261627197266 × 131072)
    floor (47744.5)     		ty = 47744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67711 / 47744 ti = "17/67711/47744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67711/47744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67711 ÷ 217
    67711 ÷ 131072     		x = 0.516593933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47744 ÷ 217
    47744 ÷ 131072     		y = 0.3642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516593933105469 × 2 - 1) × π
    0.0331878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10426276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    0.271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.852893318040039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10426276} λ = 0.10426276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.852893318040039))-π/2
    2×atan(2.34642599675182)-π/2
    2×1.16792657259049-π/2
    2.33585314518098-1.57079632675     		φ = 0.76505682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10426276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.973816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76505682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.834527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67711 KachelY 47744 0.10426276 0.76505682 5.973816 43.834527
    Oben rechts KachelX + 1 67712 KachelY 47744 0.10431069 0.76505682 5.976562 43.834527
    Unten links KachelX 67711 KachelY + 1 47745 0.10426276 0.76502224 5.973816 43.832546
    Unten rechts KachelX + 1 67712 KachelY + 1 47745 0.10431069 0.76502224 5.976562 43.832546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76505682-0.76502224) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dl = 220.30918000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76505682-0.76502224) × R
    3.45800000000063e-05 × 6371000     		dr = 220.30918000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10426276-0.10431069) × cos(0.76505682) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721343006319873 × 6371000     		do = 220.270764736147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10426276-0.10431069) × cos(0.76502224) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.721366955235355 × 6371000     		du = 220.278077825595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76505682)-sin(0.76502224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721343006319873-0.721366955235355)×R²
    abs(0.10431069-0.10426276)×2.39489154821859e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39489154821859e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39489154821859e-05×40589641000000     		ar = 48528.4771322827m²