Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6771 / 6352
↖ ↑ ↗
← S 69.900118°
E117.553711°		 ← 1 679.28 m → S 69.900118°
E117.597656°		 →
↑
1 678.69 m
↓
↑
1 678.69 m
↓
S 69.915214°
E117.553711°		 ← 1 678.07 m →
2 817 986 m²		 S 69.915214°
E117.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82659912109375 y=0.77545166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82659912109375 × 213)
    floor (0.82659912109375 × 8192)
    floor (6771.5)     		tx = 6771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77545166015625 × 213)
    floor (0.77545166015625 × 8192)
    floor (6352.5)     		ty = 6352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6771 / 6352 ti = "13/6771/6352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6771/6352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6771 ÷ 213
    6771 ÷ 8192     		x = 0.8265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6352 ÷ 213
    6352 ÷ 8192     		y = 0.775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8265380859375 × 2 - 1) × π
    0.653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05169930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775390625 × 2 - 1) × π
    -0.55078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73033032868555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05169930} λ = 2.05169930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73033032868555))-π/2
    2×atan(0.177225857515075)-π/2
    2×0.175404563347454-π/2
    0.350809126694908-1.57079632675     		φ = -1.21998720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05169930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21998720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.900118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6771 KachelY 6352 2.05169930 -1.21998720 117.553711 -69.900118
    Oben rechts KachelX + 1 6772 KachelY 6352 2.05246629 -1.21998720 117.597656 -69.900118
    Unten links KachelX 6771 KachelY + 1 6353 2.05169930 -1.22025069 117.553711 -69.915214
    Unten rechts KachelX + 1 6772 KachelY + 1 6353 2.05246629 -1.22025069 117.597656 -69.915214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21998720--1.22025069) × R
    0.000263490000000033 × 6371000     		dl = 1678.69479000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21998720--1.22025069) × R
    0.000263490000000033 × 6371000     		dr = 1678.69479000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05169930-2.05246629) × cos(-1.21998720) × R
    0.000766989999999801 × 0.343657766759656 × 6371000     		do = 1679.28137132701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05169930-2.05246629) × cos(-1.22025069) × R
    0.000766989999999801 × 0.343410312702587 × 6371000     		du = 1678.07218873756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21998720)-sin(-1.22025069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343657766759656-0.343410312702587)×R²
    abs(2.05246629-2.05169930)×0.000247454057069108×R²
    0.000766989999999801×0.000247454057069108×6371000²
    0.000766989999999801×0.000247454057069108×40589641000000     		ar = 2817985.9810366m²