Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6771 / 1745
↖ ↑ ↗
← N 80.353314°
W 31.223144°		 ← 409.41 m → N 80.353314°
W 31.201172°		 →
↑
409.53 m
↓
↑
409.53 m
↓
N 80.349631°
W 31.223144°		 ← 409.57 m →
167 698 m²		 N 80.349631°
W 31.201172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413299560546875 y=0.106536865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413299560546875 × 214)
    floor (0.413299560546875 × 16384)
    floor (6771.5)     		tx = 6771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106536865234375 × 214)
    floor (0.106536865234375 × 16384)
    floor (1745.5)     		ty = 1745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6771 / 1745 ti = "14/6771/1745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6771/1745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6771 ÷ 214
    6771 ÷ 16384     		x = 0.41326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1745 ÷ 214
    1745 ÷ 16384     		y = 0.10650634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54494667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10650634765625 × 2 - 1) × π
    0.7869873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47239353480402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54494667} λ = -0.54494667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47239353480402))-π/2
    2×atan(11.8507781821413)-π/2
    2×1.48661311143146-π/2
    2.97322622286293-1.57079632675     		φ = 1.40242990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54494667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.223144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40242990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.353314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6771 KachelY 1745 -0.54494667 1.40242990 -31.223144 80.353314
    Oben rechts KachelX + 1 6772 KachelY 1745 -0.54456318 1.40242990 -31.201172 80.353314
    Unten links KachelX 6771 KachelY + 1 1746 -0.54494667 1.40236562 -31.223144 80.349631
    Unten rechts KachelX + 1 6772 KachelY + 1 1746 -0.54456318 1.40236562 -31.201172 80.349631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40242990-1.40236562) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dl = 409.527879999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40242990-1.40236562) × R
    6.42799999999166e-05 × 6371000     		dr = 409.527879999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54494667--0.54456318) × cos(1.40242990) × R
    0.000383489999999931 × 0.167572099179795 × 6371000     		do = 409.414631107348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54494667--0.54456318) × cos(1.40236562) × R
    0.000383489999999931 × 0.167635469903008 × 6371000     		du = 409.569459395556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40242990)-sin(1.40236562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167572099179795-0.167635469903008)×R²
    abs(-0.54456318--0.54494667)×6.33707232132463e-05×R²
    0.000383489999999931×6.33707232132463e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.33707232132463e-05×40589641000000     		ar = 167698.409227557m²