Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6771 / 1688
↖ ↑ ↗
← N 80.560943°
W 31.223144°		 ← 400.68 m → N 80.560943°
W 31.201172°		 →
↑
400.80 m
↓
↑
400.80 m
↓
N 80.557338°
W 31.223144°		 ← 400.84 m →
160 624 m²		 N 80.557338°
W 31.201172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413299560546875 y=0.103057861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413299560546875 × 214)
    floor (0.413299560546875 × 16384)
    floor (6771.5)     		tx = 6771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103057861328125 × 214)
    floor (0.103057861328125 × 16384)
    floor (1688.5)     		ty = 1688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6771 / 1688 ti = "14/6771/1688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6771/1688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6771 ÷ 214
    6771 ÷ 16384     		x = 0.41326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1688 ÷ 214
    1688 ÷ 16384     		y = 0.10302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54494667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10302734375 × 2 - 1) × π
    0.7939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49425276103076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54494667} λ = -0.54494667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49425276103076))-π/2
    2×atan(12.1126790702693)-π/2
    2×1.48842501218403-π/2
    2.97685002436806-1.57079632675     		φ = 1.40605370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54494667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.223144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40605370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.560943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6771 KachelY 1688 -0.54494667 1.40605370 -31.223144 80.560943
    Oben rechts KachelX + 1 6772 KachelY 1688 -0.54456318 1.40605370 -31.201172 80.560943
    Unten links KachelX 6771 KachelY + 1 1689 -0.54494667 1.40599079 -31.223144 80.557338
    Unten rechts KachelX + 1 6772 KachelY + 1 1689 -0.54456318 1.40599079 -31.201172 80.557338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40605370-1.40599079) × R
    6.29100000000271e-05 × 6371000     		dl = 400.799610000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40605370-1.40599079) × R
    6.29100000000271e-05 × 6371000     		dr = 400.799610000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54494667--0.54456318) × cos(1.40605370) × R
    0.000383489999999931 × 0.163998447899479 × 6371000     		do = 400.683433444979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54494667--0.54456318) × cos(1.40599079) × R
    0.000383489999999931 × 0.164060505811059 × 6371000     		du = 400.835054252387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40605370)-sin(1.40599079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163998447899479-0.164060505811059)×R²
    abs(-0.54456318--0.54494667)×6.20579115795938e-05×R²
    0.000383489999999931×6.20579115795938e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.20579115795938e-05×40589641000000     		ar = 160624.148690486m²