Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67709 / 69398
↖ ↑ ↗
← S 10.547221°
E  5.968323°		 ← 300.27 m → S 10.547221°
E  5.971069°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.549922°
E  5.968323°		 ← 300.26 m →
90 159 m²		 S 10.549922°
E  5.971069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516582489013672 y=0.529468536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516582489013672 × 217)
    floor (0.516582489013672 × 131072)
    floor (67709.5)     		tx = 67709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529468536376953 × 217)
    floor (0.529468536376953 × 131072)
    floor (69398.5)     		ty = 69398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67709 / 69398 ti = "17/67709/69398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67709/69398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67709 ÷ 217
    67709 ÷ 131072     		x = 0.516578674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69398 ÷ 217
    69398 ÷ 131072     		y = 0.529464721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516578674316406 × 2 - 1) × π
    0.0331573486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10416688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529464721679688 × 2 - 1) × π
    -0.058929443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.185132306332657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10416688} λ = 0.10416688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.185132306332657))-π/2
    2×atan(0.830994330766179)-π/2
    2×0.693356292381593-π/2
    1.38671258476319-1.57079632675     		φ = -0.18408374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10416688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.968323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18408374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.547221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67709 KachelY 69398 0.10416688 -0.18408374 5.968323 -10.547221
    Oben rechts KachelX + 1 67710 KachelY 69398 0.10421482 -0.18408374 5.971069 -10.547221
    Unten links KachelX 67709 KachelY + 1 69399 0.10416688 -0.18413087 5.968323 -10.549922
    Unten rechts KachelX + 1 67710 KachelY + 1 69399 0.10421482 -0.18413087 5.971069 -10.549922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18408374--0.18413087) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dl = 300.26523000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18408374--0.18413087) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dr = 300.26523000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10416688-0.10421482) × cos(-0.18408374) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983104380854079 × 6371000     		do = 300.265383019576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10416688-0.10421482) × cos(-0.18413087) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983095752812201 × 6371000     		du = 300.2627477935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18408374)-sin(-0.18413087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983104380854079-0.983095752812201)×R²
    abs(0.10421482-0.10416688)×8.62804187851118e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.62804187851118e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.62804187851118e-06×40589641000000     		ar = 90158.8586767332m²