Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67709 / 46925
↖ ↑ ↗
← N 45.435081°
E  5.968323°		 ← 214.32 m → N 45.435081°
E  5.971069°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
N 45.433154°
E  5.968323°		 ← 214.33 m →
45 934 m²		 N 45.433154°
E  5.971069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516582489013672 y=0.358013153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516582489013672 × 217)
    floor (0.516582489013672 × 131072)
    floor (67709.5)     		tx = 67709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358013153076172 × 217)
    floor (0.358013153076172 × 131072)
    floor (46925.5)     		ty = 46925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67709 / 46925 ti = "17/67709/46925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67709/46925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67709 ÷ 217
    67709 ÷ 131072     		x = 0.516578674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46925 ÷ 217
    46925 ÷ 131072     		y = 0.358009338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516578674316406 × 2 - 1) × π
    0.0331573486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10416688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358009338378906 × 2 - 1) × π
    0.283981323242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.892153638828865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10416688} λ = 0.10416688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892153638828865))-π/2
    2×atan(2.44037969237717)-π/2
    2×1.18189404305456-π/2
    2.36378808610913-1.57079632675     		φ = 0.79299176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10416688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.968323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79299176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.435081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67709 KachelY 46925 0.10416688 0.79299176 5.968323 45.435081
    Oben rechts KachelX + 1 67710 KachelY 46925 0.10421482 0.79299176 5.971069 45.435081
    Unten links KachelX 67709 KachelY + 1 46926 0.10416688 0.79295812 5.968323 45.433154
    Unten rechts KachelX + 1 67710 KachelY + 1 46926 0.10421482 0.79295812 5.971069 45.433154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79299176-0.79295812) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79299176-0.79295812) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10416688-0.10421482) × cos(0.79299176) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701716962389859 × 6371000     		do = 214.322422508458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10416688-0.10421482) × cos(0.79295812) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701740929006809 × 6371000     		du = 214.329742530176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79299176)-sin(0.79295812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701716962389859-0.701740929006809)×R²
    abs(0.10421482-0.10416688)×2.39666169495889e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39666169495889e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39666169495889e-05×40589641000000     		ar = 45934.4603134661m²