Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67708 / 69372
↖ ↑ ↗
← S 10.477009°
E  5.965576°		 ← 300.27 m → S 10.477009°
E  5.968323°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.479710°
E  5.965576°		 ← 300.27 m →
90 180 m²		 S 10.479710°
E  5.968323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516574859619141 y=0.529270172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516574859619141 × 217)
    floor (0.516574859619141 × 131072)
    floor (67708.5)     		tx = 67708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529270172119141 × 217)
    floor (0.529270172119141 × 131072)
    floor (69372.5)     		ty = 69372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67708 / 69372 ti = "17/67708/69372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67708/69372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67708 ÷ 217
    67708 ÷ 131072     		x = 0.516571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69372 ÷ 217
    69372 ÷ 131072     		y = 0.529266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516571044921875 × 2 - 1) × π
    0.03314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10411895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.05853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.183885946942535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10411895} λ = 0.10411895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183885946942535))-π/2
    2×atan(0.83203069405987)-π/2
    2×0.693969012806941-π/2
    1.38793802561388-1.57079632675     		φ = -0.18285830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10411895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.965576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18285830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.477009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67708 KachelY 69372 0.10411895 -0.18285830 5.965576 -10.477009
    Oben rechts KachelX + 1 67709 KachelY 69372 0.10416688 -0.18285830 5.968323 -10.477009
    Unten links KachelX 67708 KachelY + 1 69373 0.10411895 -0.18290544 5.965576 -10.479710
    Unten rechts KachelX + 1 67709 KachelY + 1 69373 0.10416688 -0.18290544 5.968323 -10.479710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18285830--0.18290544) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18285830--0.18290544) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10411895-0.10416688) × cos(-0.18285830) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983327954316008 × 6371000     		do = 300.271020285693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10411895-0.10416688) × cos(-0.18290544) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983319381240652 × 6371000     		du = 300.268402393999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18285830)-sin(-0.18290544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983327954316008-0.983319381240652)×R²
    abs(0.10416688-0.10411895)×8.57307535562235e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.57307535562235e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.57307535562235e-06×40589641000000     		ar = 90179.6841375039m²