Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67708 / 46932
↖ ↑ ↗
← N 45.421588°
E  5.965576°		 ← 214.33 m → N 45.421588°
E  5.968323°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
N 45.419660°
E  5.965576°		 ← 214.34 m →
45 936 m²		 N 45.419660°
E  5.968323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516574859619141 y=0.358066558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516574859619141 × 217)
    floor (0.516574859619141 × 131072)
    floor (67708.5)     		tx = 67708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358066558837891 × 217)
    floor (0.358066558837891 × 131072)
    floor (46932.5)     		ty = 46932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67708 / 46932 ti = "17/67708/46932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67708/46932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67708 ÷ 217
    67708 ÷ 131072     		x = 0.516571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46932 ÷ 217
    46932 ÷ 131072     		y = 0.358062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516571044921875 × 2 - 1) × π
    0.03314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10411895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358062744140625 × 2 - 1) × π
    0.28387451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.891818080531525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10411895} λ = 0.10411895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891818080531525))-π/2
    2×atan(2.43956094009998)-π/2
    2×1.18177629550659-π/2
    2.36355259101318-1.57079632675     		φ = 0.79275626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10411895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.965576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79275626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.421588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67708 KachelY 46932 0.10411895 0.79275626 5.965576 45.421588
    Oben rechts KachelX + 1 67709 KachelY 46932 0.10416688 0.79275626 5.968323 45.421588
    Unten links KachelX 67708 KachelY + 1 46933 0.10411895 0.79272262 5.965576 45.419660
    Unten rechts KachelX + 1 67709 KachelY + 1 46933 0.10416688 0.79272262 5.968323 45.419660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79275626-0.79272262) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dl = 214.320439999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79275626-0.79272262) × R
    3.36399999999459e-05 × 6371000     		dr = 214.320439999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10411895-0.10416688) × cos(0.79275626) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.701884726276747 × 6371000     		do = 214.328944841869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10411895-0.10416688) × cos(0.79272262) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.701908687333781 × 6371000     		du = 214.336261638886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79275626)-sin(0.79272262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701884726276747-0.701908687333781)×R²
    abs(0.10416688-0.10411895)×2.39610570339499e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39610570339499e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39610570339499e-05×40589641000000     		ar = 45935.8578371401m²