Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67707 / 69387
↖ ↑ ↗
← S 10.517518°
E  5.962830°		 ← 300.29 m → S 10.517518°
E  5.965576°		 →
↑
300.27 m
↓
↑
300.27 m
↓
S 10.520218°
E  5.962830°		 ← 300.29 m →
90 168 m²		 S 10.520218°
E  5.965576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516567230224609 y=0.529384613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516567230224609 × 217)
    floor (0.516567230224609 × 131072)
    floor (67707.5)     		tx = 67707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529384613037109 × 217)
    floor (0.529384613037109 × 131072)
    floor (69387.5)     		ty = 69387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67707 / 69387 ti = "17/67707/69387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67707/69387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67707 ÷ 217
    67707 ÷ 131072     		x = 0.516563415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69387 ÷ 217
    69387 ÷ 131072     		y = 0.529380798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516563415527344 × 2 - 1) × π
    0.0331268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10407101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529380798339844 × 2 - 1) × π
    -0.0587615966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.184605000436836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10407101} λ = 0.10407101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.184605000436836))-π/2
    2×atan(0.831432634526108)-π/2
    2×0.693615503247464-π/2
    1.38723100649493-1.57079632675     		φ = -0.18356532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10407101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.962830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18356532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.517518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67707 KachelY 69387 0.10407101 -0.18356532 5.962830 -10.517518
    Oben rechts KachelX + 1 67708 KachelY 69387 0.10411895 -0.18356532 5.965576 -10.517518
    Unten links KachelX 67707 KachelY + 1 69388 0.10407101 -0.18361245 5.962830 -10.520218
    Unten rechts KachelX + 1 67708 KachelY + 1 69388 0.10411895 -0.18361245 5.965576 -10.520218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18356532--0.18361245) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dl = 300.26523000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18356532--0.18361245) × R
    4.71300000000063e-05 × 6371000     		dr = 300.26523000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10407101-0.10411895) × cos(-0.18356532) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983199143360458 × 6371000     		do = 300.294325928211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10407101-0.10411895) × cos(-0.18361245) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983190539339954 × 6371000     		du = 300.291698038882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18356532)-sin(-0.18361245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983199143360458-0.983190539339954)×R²
    abs(0.10411895-0.10407101)×8.60402050384401e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.60402050384401e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.60402050384401e-06×40589641000000     		ar = 90167.5503273405m²