Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67707 / 46922
↖ ↑ ↗
← N 45.440863°
E  5.962830°		 ← 214.30 m → N 45.440863°
E  5.965576°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
N 45.438935°
E  5.962830°		 ← 214.31 m →
45 930 m²		 N 45.438935°
E  5.965576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516567230224609 y=0.357990264892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516567230224609 × 217)
    floor (0.516567230224609 × 131072)
    floor (67707.5)     		tx = 67707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357990264892578 × 217)
    floor (0.357990264892578 × 131072)
    floor (46922.5)     		ty = 46922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67707 / 46922 ti = "17/67707/46922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67707/46922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67707 ÷ 217
    67707 ÷ 131072     		x = 0.516563415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46922 ÷ 217
    46922 ÷ 131072     		y = 0.357986450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516563415527344 × 2 - 1) × π
    0.0331268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10407101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357986450195312 × 2 - 1) × π
    0.284027099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.892297449527725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10407101} λ = 0.10407101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892297449527725))-π/2
    2×atan(2.4407306703228)-π/2
    2×1.18194449767309-π/2
    2.36388899534618-1.57079632675     		φ = 0.79309267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10407101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.962830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79309267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.440863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67707 KachelY 46922 0.10407101 0.79309267 5.962830 45.440863
    Oben rechts KachelX + 1 67708 KachelY 46922 0.10411895 0.79309267 5.965576 45.440863
    Unten links KachelX 67707 KachelY + 1 46923 0.10407101 0.79305903 5.962830 45.438935
    Unten rechts KachelX + 1 67708 KachelY + 1 46923 0.10411895 0.79305903 5.965576 45.438935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79309267-0.79305903) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79309267-0.79305903) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10407101-0.10411895) × cos(0.79309267) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701645064899799 × 6371000     		do = 214.300463164353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10407101-0.10411895) × cos(0.79305903) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701669033898724 × 6371000     		du = 214.307783913586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79309267)-sin(0.79305903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701645064899799-0.701669033898724)×R²
    abs(0.10411895-0.10407101)×2.39689989254277e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39689989254277e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39689989254277e-05×40589641000000     		ar = 45929.7540552578m²