Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67702 / 68458
↖ ↑ ↗
← S  7.999397°
E  5.949096°		 ← 302.45 m → S  7.999397°
E  5.951843°		 →
↑
302.43 m
↓
↑
302.43 m
↓
S  8.002117°
E  5.949096°		 ← 302.45 m →
91 471 m²		 S  8.002117°
E  5.951843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516529083251953 y=0.522296905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516529083251953 × 217)
    floor (0.516529083251953 × 131072)
    floor (67702.5)     		tx = 67702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522296905517578 × 217)
    floor (0.522296905517578 × 131072)
    floor (68458.5)     		ty = 68458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67702 / 68458 ti = "17/67702/68458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67702/68458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67702 ÷ 217
    67702 ÷ 131072     		x = 0.516525268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68458 ÷ 217
    68458 ÷ 131072     		y = 0.522293090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516525268554688 × 2 - 1) × π
    0.033050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10383132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522293090820312 × 2 - 1) × π
    -0.044586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.140071620689804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10383132} λ = 0.10383132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140071620689804))-π/2
    2×atan(0.869295973591943)-π/2
    2×0.71559025386725-π/2
    1.4311805077345-1.57079632675     		φ = -0.13961582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10383132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.949096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13961582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.999397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67702 KachelY 68458 0.10383132 -0.13961582 5.949096 -7.999397
    Oben rechts KachelX + 1 67703 KachelY 68458 0.10387926 -0.13961582 5.951843 -7.999397
    Unten links KachelX 67702 KachelY + 1 68459 0.10383132 -0.13966329 5.949096 -8.002117
    Unten rechts KachelX + 1 67703 KachelY + 1 68459 0.10387926 -0.13966329 5.951843 -8.002117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13961582--0.13966329) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dl = 302.431369999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13961582--0.13966329) × R
    4.74699999999939e-05 × 6371000     		dr = 302.431369999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10383132-0.10387926) × cos(-0.13961582) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990269532809999 × 6371000     		do = 302.453804857925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10383132-0.10387926) × cos(-0.13966329) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.990262925641694 × 6371000     		du = 302.451786858656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13961582)-sin(-0.13966329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990269532809999-0.990262925641694)×R²
    abs(0.10387926-0.10383132)×6.60716830491737e-06×R²
    4.79399999999963e-05×6.60716830491737e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×6.60716830491737e-06×40589641000000     		ar = 91471.2134289368m²