Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67701 / 68952
↖ ↑ ↗
← S  9.340672°
E  5.946350°		 ← 301.31 m → S  9.340672°
E  5.949096°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.343382°
E  5.946350°		 ← 301.31 m →
90 800 m²		 S  9.343382°
E  5.949096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516521453857422 y=0.526065826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516521453857422 × 217)
    floor (0.516521453857422 × 131072)
    floor (67701.5)     		tx = 67701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526065826416016 × 217)
    floor (0.526065826416016 × 131072)
    floor (68952.5)     		ty = 68952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67701 / 68952 ti = "17/67701/68952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67701/68952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67701 ÷ 217
    67701 ÷ 131072     		x = 0.516517639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68952 ÷ 217
    68952 ÷ 131072     		y = 0.52606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516517639160156 × 2 - 1) × π
    0.0330352783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10378339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52606201171875 × 2 - 1) × π
    -0.0521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.163752449102112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10378339} λ = 0.10378339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163752449102112))-π/2
    2×atan(0.848952154738014)-π/2
    2×0.703885421437252-π/2
    1.4077708428745-1.57079632675     		φ = -0.16302548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10378339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.946350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16302548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.340672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67701 KachelY 68952 0.10378339 -0.16302548 5.946350 -9.340672
    Oben rechts KachelX + 1 67702 KachelY 68952 0.10383132 -0.16302548 5.949096 -9.340672
    Unten links KachelX 67701 KachelY + 1 68953 0.10378339 -0.16307278 5.946350 -9.343382
    Unten rechts KachelX + 1 67702 KachelY + 1 68953 0.10383132 -0.16307278 5.949096 -9.343382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16302548--0.16307278) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16302548--0.16307278) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10378339-0.10383132) × cos(-0.16302548) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986740751759783 × 6371000     		do = 301.313159041103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10378339-0.10383132) × cos(-0.16307278) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.986733073662144 × 6371000     		du = 301.310814441622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16302548)-sin(-0.16307278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986740751759783-0.986733073662144)×R²
    abs(0.10383132-0.10378339)×7.67809763957406e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.67809763957406e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.67809763957406e-06×40589641000000     		ar = 90799.8549910695m²