Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67700 / 44893
↖ ↑ ↗
← N 49.215803°
E  5.943603°		 ← 199.51 m → N 49.215803°
E  5.946350°		 →
↑
199.54 m
↓
↑
199.54 m
↓
N 49.214009°
E  5.943603°		 ← 199.51 m →
39 810 m²		 N 49.214009°
E  5.946350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516513824462891 y=0.342510223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516513824462891 × 217)
    floor (0.516513824462891 × 131072)
    floor (67700.5)     		tx = 67700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342510223388672 × 217)
    floor (0.342510223388672 × 131072)
    floor (44893.5)     		ty = 44893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67700 / 44893 ti = "17/67700/44893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67700/44893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67700 ÷ 217
    67700 ÷ 131072     		x = 0.516510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44893 ÷ 217
    44893 ÷ 131072     		y = 0.342506408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516510009765625 × 2 - 1) × π
    0.03302001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10373545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342506408691406 × 2 - 1) × π
    0.314987182617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.989561418856819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10373545} λ = 0.10373545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989561418856819))-π/2
    2×atan(2.69005440645405)-π/2
    2×1.21488706690105-π/2
    2.42977413380211-1.57079632675     		φ = 0.85897781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10373545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.943603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85897781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.215803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67700 KachelY 44893 0.10373545 0.85897781 5.943603 49.215803
    Oben rechts KachelX + 1 67701 KachelY 44893 0.10378339 0.85897781 5.946350 49.215803
    Unten links KachelX 67700 KachelY + 1 44894 0.10373545 0.85894649 5.943603 49.214009
    Unten rechts KachelX + 1 67701 KachelY + 1 44894 0.10378339 0.85894649 5.946350 49.214009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85897781-0.85894649) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dl = 199.539719999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85897781-0.85894649) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dr = 199.539719999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10373545-0.10378339) × cos(0.85897781) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653211786261594 × 6371000     		do = 199.507693195654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10373545-0.10378339) × cos(0.85894649) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653235500670102 × 6371000     		du = 199.514936186421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85897781)-sin(0.85894649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653211786261594-0.653235500670102)×R²
    abs(0.10378339-0.10373545)×2.37144085081242e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37144085081242e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37144085081242e-05×40589641000000     		ar = 39810.4318734309m²