Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6770 / 6256
↖ ↑ ↗
← S 68.399180°
E117.509765°		 ← 1 798.90 m → S 68.399180°
E117.553711°		 →
↑
1 798.21 m
↓
↑
1 798.21 m
↓
S 68.415352°
E117.509765°		 ← 1 797.62 m →
3 233 661 m²		 S 68.415352°
E117.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82647705078125 y=0.76373291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82647705078125 × 213)
    floor (0.82647705078125 × 8192)
    floor (6770.5)     		tx = 6770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76373291015625 × 213)
    floor (0.76373291015625 × 8192)
    floor (6256.5)     		ty = 6256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6770 / 6256 ti = "13/6770/6256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6770/6256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6770 ÷ 213
    6770 ÷ 8192     		x = 0.826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6256 ÷ 213
    6256 ÷ 8192     		y = 0.763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826416015625 × 2 - 1) × π
    0.65283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05093231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763671875 × 2 - 1) × π
    -0.52734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65669925086914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05093231} λ = 2.05093231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65669925086914))-π/2
    2×atan(0.190767618092236)-π/2
    2×0.188502714694935-π/2
    0.37700542938987-1.57079632675     		φ = -1.19379090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05093231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.509765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19379090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.399180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6770 KachelY 6256 2.05093231 -1.19379090 117.509765 -68.399180
    Oben rechts KachelX + 1 6771 KachelY 6256 2.05169930 -1.19379090 117.553711 -68.399180
    Unten links KachelX 6770 KachelY + 1 6257 2.05093231 -1.19407315 117.509765 -68.415352
    Unten rechts KachelX + 1 6771 KachelY + 1 6257 2.05169930 -1.19407315 117.553711 -68.415352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19379090--1.19407315) × R
    0.000282249999999928 × 6371000     		dl = 1798.21474999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19379090--1.19407315) × R
    0.000282249999999928 × 6371000     		dr = 1798.21474999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05093231-2.05169930) × cos(-1.19379090) × R
    0.000766990000000245 × 0.368137856227506 × 6371000     		do = 1798.90316425127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05093231-2.05169930) × cos(-1.19407315) × R
    0.000766990000000245 × 0.367875413640697 × 6371000     		du = 1797.62074031182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19379090)-sin(-1.19407315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368137856227506-0.367875413640697)×R²
    abs(2.05169930-2.05093231)×0.00026244258680902×R²
    0.000766990000000245×0.00026244258680902×6371000²
    0.000766990000000245×0.00026244258680902×40589641000000     		ar = 3233661.18842059m²