Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6770 / 6239
↖ ↑ ↗
← S 68.122482°
E117.509765°		 ← 1 820.82 m → S 68.122482°
E117.553711°		 →
↑
1 820.19 m
↓
↑
1 820.19 m
↓
S 68.138852°
E117.509765°		 ← 1 819.53 m →
3 313 073 m²		 S 68.138852°
E117.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82647705078125 y=0.76165771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82647705078125 × 213)
    floor (0.82647705078125 × 8192)
    floor (6770.5)     		tx = 6770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76165771484375 × 213)
    floor (0.76165771484375 × 8192)
    floor (6239.5)     		ty = 6239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6770 / 6239 ti = "13/6770/6239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6770/6239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6770 ÷ 213
    6770 ÷ 8192     		x = 0.826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6239 ÷ 213
    6239 ÷ 8192     		y = 0.7615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826416015625 × 2 - 1) × π
    0.65283203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05093231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64366041417249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05093231} λ = 2.05093231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64366041417249))-π/2
    2×atan(0.193271292944343)-π/2
    2×0.190917357048881-π/2
    0.381834714097763-1.57079632675     		φ = -1.18896161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05093231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.509765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18896161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.122482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6770 KachelY 6239 2.05093231 -1.18896161 117.509765 -68.122482
    Oben rechts KachelX + 1 6771 KachelY 6239 2.05169930 -1.18896161 117.553711 -68.122482
    Unten links KachelX 6770 KachelY + 1 6240 2.05093231 -1.18924731 117.509765 -68.138852
    Unten rechts KachelX + 1 6771 KachelY + 1 6240 2.05169930 -1.18924731 117.553711 -68.138852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18896161--1.18924731) × R
    0.000285700000000055 × 6371000     		dl = 1820.19470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18896161--1.18924731) × R
    0.000285700000000055 × 6371000     		dr = 1820.19470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05093231-2.05169930) × cos(-1.18896161) × R
    0.000766990000000245 × 0.372623680767378 × 6371000     		do = 1820.82311576548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05093231-2.05169930) × cos(-1.18924731) × R
    0.000766990000000245 × 0.372358540952008 × 6371000     		du = 1819.52751183676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18896161)-sin(-1.18924731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372623680767378-0.372358540952008)×R²
    abs(2.05169930-2.05093231)×0.000265139815370186×R²
    0.000766990000000245×0.000265139815370186×6371000²
    0.000766990000000245×0.000265139815370186×40589641000000     		ar = 3313073.48178614m²