Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6770 / 1844
↖ ↑ ↗
← N 79.981890°
W 31.245117°		 ← 425.03 m → N 79.981890°
W 31.223144°		 →
↑
425.07 m
↓
↑
425.07 m
↓
N 79.978068°
W 31.245117°		 ← 425.19 m →
180 704 m²		 N 79.978068°
W 31.223144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413238525390625 y=0.112579345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413238525390625 × 214)
    floor (0.413238525390625 × 16384)
    floor (6770.5)     		tx = 6770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112579345703125 × 214)
    floor (0.112579345703125 × 16384)
    floor (1844.5)     		ty = 1844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6770 / 1844 ti = "14/6770/1844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6770/1844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6770 ÷ 214
    6770 ÷ 16384     		x = 0.4132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1844 ÷ 214
    1844 ÷ 16384     		y = 0.112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54533017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112548828125 × 2 - 1) × π
    0.77490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43442751030493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54533017} λ = -0.54533017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43442751030493))-π/2
    2×atan(11.4092851451714)-π/2
    2×1.48337182935185-π/2
    2.9667436587037-1.57079632675     		φ = 1.39594733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54533017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.245117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39594733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.981890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6770 KachelY 1844 -0.54533017 1.39594733 -31.245117 79.981890
    Oben rechts KachelX + 1 6771 KachelY 1844 -0.54494667 1.39594733 -31.223144 79.981890
    Unten links KachelX 6770 KachelY + 1 1845 -0.54533017 1.39588061 -31.245117 79.978068
    Unten rechts KachelX + 1 6771 KachelY + 1 1845 -0.54494667 1.39588061 -31.223144 79.978068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39594733-1.39588061) × R
    6.67199999999646e-05 × 6371000     		dl = 425.073119999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39594733-1.39588061) × R
    6.67199999999646e-05 × 6371000     		dr = 425.073119999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54533017--0.54494667) × cos(1.39594733) × R
    0.000383499999999981 × 0.173959438745632 × 6371000     		do = 425.031356559248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54533017--0.54494667) × cos(1.39588061) × R
    0.000383499999999981 × 0.174025141066442 × 6371000     		du = 425.191885627085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39594733)-sin(1.39588061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173959438745632-0.174025141066442)×R²
    abs(-0.54494667--0.54533017)×6.57023208105734e-05×R²
    0.000383499999999981×6.57023208105734e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.57023208105734e-05×40589641000000     		ar = 180703.523194707m²