Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6770 / 1683
↖ ↑ ↗
← N 80.578943°
W 31.245117°		 ← 399.94 m → N 80.578943°
W 31.223144°		 →
↑
399.97 m
↓
↑
399.97 m
↓
N 80.575346°
W 31.245117°		 ← 400.09 m →
159 993 m²		 N 80.575346°
W 31.223144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413238525390625 y=0.102752685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413238525390625 × 214)
    floor (0.413238525390625 × 16384)
    floor (6770.5)     		tx = 6770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102752685546875 × 214)
    floor (0.102752685546875 × 16384)
    floor (1683.5)     		ty = 1683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6770 / 1683 ti = "14/6770/1683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6770/1683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6770 ÷ 214
    6770 ÷ 16384     		x = 0.4132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1683 ÷ 214
    1683 ÷ 16384     		y = 0.10272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54533017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10272216796875 × 2 - 1) × π
    0.7945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49617023701556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54533017} λ = -0.54533017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49617023701556))-π/2
    2×atan(12.1359271231666)-π/2
    2×1.48858209511728-π/2
    2.97716419023456-1.57079632675     		φ = 1.40636786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54533017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.245117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40636786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.578943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6770 KachelY 1683 -0.54533017 1.40636786 -31.245117 80.578943
    Oben rechts KachelX + 1 6771 KachelY 1683 -0.54494667 1.40636786 -31.223144 80.578943
    Unten links KachelX 6770 KachelY + 1 1684 -0.54533017 1.40630508 -31.245117 80.575346
    Unten rechts KachelX + 1 6771 KachelY + 1 1684 -0.54494667 1.40630508 -31.223144 80.575346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40636786-1.40630508) × R
    6.2779999999929e-05 × 6371000     		dl = 399.971379999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40636786-1.40630508) × R
    6.2779999999929e-05 × 6371000     		dr = 399.971379999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54533017--0.54494667) × cos(1.40636786) × R
    0.000383499999999981 × 0.163688533350442 × 6371000     		do = 399.936674231647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54533017--0.54494667) × cos(1.40630508) × R
    0.000383499999999981 × 0.163750466255574 × 6371000     		du = 400.087993567199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40636786)-sin(1.40630508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163688533350442-0.163750466255574)×R²
    abs(-0.54494667--0.54533017)×6.19329051321782e-05×R²
    0.000383499999999981×6.19329051321782e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.19329051321782e-05×40589641000000     		ar = 159993.485260148m²