Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67699 / 68756
↖ ↑ ↗
← S  8.809082°
E  5.940857°		 ← 301.82 m → S  8.809082°
E  5.943603°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.811796°
E  5.940857°		 ← 301.82 m →
91 088 m²		 S  8.811796°
E  5.943603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516506195068359 y=0.524570465087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516506195068359 × 217)
    floor (0.516506195068359 × 131072)
    floor (67699.5)     		tx = 67699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524570465087891 × 217)
    floor (0.524570465087891 × 131072)
    floor (68756.5)     		ty = 68756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67699 / 68756 ti = "17/67699/68756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67699/68756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67699 ÷ 217
    67699 ÷ 131072     		x = 0.516502380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68756 ÷ 217
    68756 ÷ 131072     		y = 0.524566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516502380371094 × 2 - 1) × π
    0.0330047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10368751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.04913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.154356816776581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10368751} λ = 0.10368751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154356816776581))-π/2
    2×atan(0.856966186538947)-π/2
    2×0.708524417829584-π/2
    1.41704883565917-1.57079632675     		φ = -0.15374749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10368751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.940857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15374749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.809082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67699 KachelY 68756 0.10368751 -0.15374749 5.940857 -8.809082
    Oben rechts KachelX + 1 67700 KachelY 68756 0.10373545 -0.15374749 5.943603 -8.809082
    Unten links KachelX 67699 KachelY + 1 68757 0.10368751 -0.15379486 5.940857 -8.811796
    Unten rechts KachelX + 1 67700 KachelY + 1 68757 0.10373545 -0.15379486 5.943603 -8.811796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15374749--0.15379486) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dl = 301.79427000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15374749--0.15379486) × R
    4.73700000000188e-05 × 6371000     		dr = 301.79427000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10368751-0.10373545) × cos(-0.15374749) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.98820411835494 × 6371000     		do = 301.822974119669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10368751-0.10373545) × cos(-0.15379486) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.988196862886742 × 6371000     		du = 301.820758112926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15374749)-sin(-0.15379486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98820411835494-0.988196862886742)×R²
    abs(0.10373545-0.10368751)×7.25546819768663e-06×R²
    4.79400000000102e-05×7.25546819768663e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×7.25546819768663e-06×40589641000000     		ar = 91088.1097716932m²