Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67699 / 44892
↖ ↑ ↗
← N 49.217597°
E  5.940857°		 ← 199.50 m → N 49.217597°
E  5.943603°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 49.215803°
E  5.940857°		 ← 199.51 m →
39 796 m²		 N 49.215803°
E  5.943603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516506195068359 y=0.342502593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516506195068359 × 217)
    floor (0.516506195068359 × 131072)
    floor (67699.5)     		tx = 67699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342502593994141 × 217)
    floor (0.342502593994141 × 131072)
    floor (44892.5)     		ty = 44892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67699 / 44892 ti = "17/67699/44892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67699/44892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67699 ÷ 217
    67699 ÷ 131072     		x = 0.516502380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44892 ÷ 217
    44892 ÷ 131072     		y = 0.342498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516502380371094 × 2 - 1) × π
    0.0330047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10368751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342498779296875 × 2 - 1) × π
    0.31500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.989609355756439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10368751} λ = 0.10368751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989609355756439))-π/2
    2×atan(2.69018336241296)-π/2
    2×1.21490272309089-π/2
    2.42980544618177-1.57079632675     		φ = 0.85900912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10368751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.940857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85900912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.217597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67699 KachelY 44892 0.10368751 0.85900912 5.940857 49.217597
    Oben rechts KachelX + 1 67700 KachelY 44892 0.10373545 0.85900912 5.943603 49.217597
    Unten links KachelX 67699 KachelY + 1 44893 0.10368751 0.85897781 5.940857 49.215803
    Unten rechts KachelX + 1 67700 KachelY + 1 44893 0.10373545 0.85897781 5.943603 49.215803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85900912-0.85897781) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85900912-0.85897781) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10368751-0.10373545) × cos(0.85900912) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.65318807878428 × 6371000     		do = 199.500452321909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10368751-0.10373545) × cos(0.85897781) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.653211786261594 × 6371000     		du = 199.507693195712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85900912)-sin(0.85897781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65318807878428-0.653211786261594)×R²
    abs(0.10373545-0.10368751)×2.37074773142831e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37074773142831e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37074773142831e-05×40589641000000     		ar = 39796.2764159132m²