Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67698 / 44895
↖ ↑ ↗
← N 49.212215°
E  5.938111°		 ← 199.48 m → N 49.212215°
E  5.940857°		 →
↑
199.54 m
↓
↑
199.54 m
↓
N 49.210420°
E  5.938111°		 ← 199.49 m →
39 805 m²		 N 49.210420°
E  5.940857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516498565673828 y=0.342525482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516498565673828 × 217)
    floor (0.516498565673828 × 131072)
    floor (67698.5)     		tx = 67698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342525482177734 × 217)
    floor (0.342525482177734 × 131072)
    floor (44895.5)     		ty = 44895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67698 / 44895 ti = "17/67698/44895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67698/44895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67698 ÷ 217
    67698 ÷ 131072     		x = 0.516494750976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44895 ÷ 217
    44895 ÷ 131072     		y = 0.342521667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516494750976562 × 2 - 1) × π
    0.032989501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10363958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342521667480469 × 2 - 1) × π
    0.314956665039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.989465545057579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10363958} λ = 0.10363958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989465545057579))-π/2
    2×atan(2.68979651308075)-π/2
    2×1.21485575281656-π/2
    2.42971150563311-1.57079632675     		φ = 0.85891518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10363958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.938111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85891518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.212215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67698 KachelY 44895 0.10363958 0.85891518 5.938111 49.212215
    Oben rechts KachelX + 1 67699 KachelY 44895 0.10368751 0.85891518 5.940857 49.212215
    Unten links KachelX 67698 KachelY + 1 44896 0.10363958 0.85888386 5.938111 49.210420
    Unten rechts KachelX + 1 67699 KachelY + 1 44896 0.10368751 0.85888386 5.940857 49.210420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85891518-0.85888386) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dl = 199.539719999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85891518-0.85888386) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dr = 199.539719999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10363958-0.10368751) × cos(0.85891518) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.65325920686648 × 6371000     		do = 199.480557524945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10363958-0.10368751) × cos(0.85888386) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.653282919993597 × 6371000     		du = 199.487798613579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85891518)-sin(0.85888386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65325920686648-0.653282919993597)×R²
    abs(0.10368751-0.10363958)×2.37131271166868e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37131271166868e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37131271166868e-05×40589641000000     		ar = 39805.0170395646m²