Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67697 / 46930
↖ ↑ ↗
← N 45.425443°
E  5.935364°		 ← 214.36 m → N 45.425443°
E  5.938111°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
N 45.423516°
E  5.935364°		 ← 214.37 m →
45 942 m²		 N 45.423516°
E  5.938111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516490936279297 y=0.358051300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516490936279297 × 217)
    floor (0.516490936279297 × 131072)
    floor (67697.5)     		tx = 67697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358051300048828 × 217)
    floor (0.358051300048828 × 131072)
    floor (46930.5)     		ty = 46930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67697 / 46930 ti = "17/67697/46930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67697/46930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67697 ÷ 217
    67697 ÷ 131072     		x = 0.516487121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46930 ÷ 217
    46930 ÷ 131072     		y = 0.358047485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516487121582031 × 2 - 1) × π
    0.0329742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10359164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358047485351562 × 2 - 1) × π
    0.283905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.891913954330765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10359164} λ = 0.10359164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891913954330765))-π/2
    2×atan(2.4397948412881)-π/2
    2×1.18180994053527-π/2
    2.36361988107054-1.57079632675     		φ = 0.79282355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10359164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.935364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79282355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.425443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67697 KachelY 46930 0.10359164 0.79282355 5.935364 45.425443
    Oben rechts KachelX + 1 67698 KachelY 46930 0.10363958 0.79282355 5.938111 45.425443
    Unten links KachelX 67697 KachelY + 1 46931 0.10359164 0.79278991 5.935364 45.423516
    Unten rechts KachelX + 1 67698 KachelY + 1 46931 0.10363958 0.79278991 5.938111 45.423516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79282355-0.79278991) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79282355-0.79278991) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10359164-0.10363958) × cos(0.79282355) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701836794656466 × 6371000     		do = 214.359022367163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10359164-0.10363958) × cos(0.79278991) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701860757302284 × 6371000     		du = 214.366341175994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79282355)-sin(0.79278991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701836794656466-0.701860757302284)×R²
    abs(0.10363958-0.10359164)×2.39626458181652e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39626458181652e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39626458181652e-05×40589641000000     		ar = 45942.3042811553m²