Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67696 / 46929
↖ ↑ ↗
← N 45.427371°
E  5.932617°		 ← 214.35 m → N 45.427371°
E  5.935364°		 →
↑
214.38 m
↓
↑
214.38 m
↓
N 45.425443°
E  5.932617°		 ← 214.36 m →
45 954 m²		 N 45.425443°
E  5.935364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516483306884766 y=0.358043670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516483306884766 × 217)
    floor (0.516483306884766 × 131072)
    floor (67696.5)     		tx = 67696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358043670654297 × 217)
    floor (0.358043670654297 × 131072)
    floor (46929.5)     		ty = 46929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67696 / 46929 ti = "17/67696/46929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67696/46929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67696 ÷ 217
    67696 ÷ 131072     		x = 0.5164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46929 ÷ 217
    46929 ÷ 131072     		y = 0.358039855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5164794921875 × 2 - 1) × π
    0.032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10354370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358039855957031 × 2 - 1) × π
    0.283920288085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.891961891230385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10354370} λ = 0.10354370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891961891230385))-π/2
    2×atan(2.4399118002918)-π/2
    2×1.18182676218797-π/2
    2.36365352437594-1.57079632675     		φ = 0.79285720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10354370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79285720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.427371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67696 KachelY 46929 0.10354370 0.79285720 5.932617 45.427371
    Oben rechts KachelX + 1 67697 KachelY 46929 0.10359164 0.79285720 5.935364 45.427371
    Unten links KachelX 67696 KachelY + 1 46930 0.10354370 0.79282355 5.932617 45.425443
    Unten rechts KachelX + 1 67697 KachelY + 1 46930 0.10359164 0.79282355 5.935364 45.425443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79285720-0.79282355) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dl = 214.384149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79285720-0.79282355) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dr = 214.384149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10354370-0.10359164) × cos(0.79285720) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.7018128240928 × 6371000     		do = 214.351701140017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10354370-0.10359164) × cos(0.79282355) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701836794656466 × 6371000     		du = 214.359022367163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79285720)-sin(0.79282355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7018128240928-0.701836794656466)×R²
    abs(0.10359164-0.10354370)×2.39705636654319e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39705636654319e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39705636654319e-05×40589641000000     		ar = 45954.3920318963m²