Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67694 / 46931
↖ ↑ ↗
← N 45.423516°
E  5.927124°		 ← 214.37 m → N 45.423516°
E  5.929871°		 →
↑
214.38 m
↓
↑
214.38 m
↓
N 45.421588°
E  5.927124°		 ← 214.37 m →
45 958 m²		 N 45.421588°
E  5.929871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516468048095703 y=0.358058929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516468048095703 × 217)
    floor (0.516468048095703 × 131072)
    floor (67694.5)     		tx = 67694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358058929443359 × 217)
    floor (0.358058929443359 × 131072)
    floor (46931.5)     		ty = 46931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67694 / 46931 ti = "17/67694/46931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67694/46931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67694 ÷ 217
    67694 ÷ 131072     		x = 0.516464233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46931 ÷ 217
    46931 ÷ 131072     		y = 0.358055114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516464233398438 × 2 - 1) × π
    0.032928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10344783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358055114746094 × 2 - 1) × π
    0.283889770507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.891866017431145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10344783} λ = 0.10344783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.891866017431145))-π/2
    2×atan(2.43967788789091)-π/2
    2×1.18179311830814-π/2
    2.36358623661628-1.57079632675     		φ = 0.79278991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10344783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.927124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79278991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.423516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67694 KachelY 46931 0.10344783 0.79278991 5.927124 45.423516
    Oben rechts KachelX + 1 67695 KachelY 46931 0.10349577 0.79278991 5.929871 45.423516
    Unten links KachelX 67694 KachelY + 1 46932 0.10344783 0.79275626 5.927124 45.421588
    Unten rechts KachelX + 1 67695 KachelY + 1 46932 0.10349577 0.79275626 5.929871 45.421588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79278991-0.79275626) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dl = 214.384149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79278991-0.79275626) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dr = 214.384149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10344783-0.10349577) × cos(0.79278991) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701860757302284 × 6371000     		do = 214.366341175994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10344783-0.10349577) × cos(0.79275626) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701884726276747 × 6371000     		du = 214.373661917756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79278991)-sin(0.79275626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701860757302284-0.701884726276747)×R²
    abs(0.10349577-0.10344783)×2.39689744632177e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39689744632177e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39689744632177e-05×40589641000000     		ar = 45957.5305715985m²