Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67694 / 44894
↖ ↑ ↗
← N 49.214009°
E  5.927124°		 ← 199.51 m → N 49.214009°
E  5.929871°		 →
↑
199.48 m
↓
↑
199.48 m
↓
N 49.212215°
E  5.927124°		 ← 199.52 m →
39 799 m²		 N 49.212215°
E  5.929871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516468048095703 y=0.342517852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516468048095703 × 217)
    floor (0.516468048095703 × 131072)
    floor (67694.5)     		tx = 67694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342517852783203 × 217)
    floor (0.342517852783203 × 131072)
    floor (44894.5)     		ty = 44894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67694 / 44894 ti = "17/67694/44894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67694/44894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67694 ÷ 217
    67694 ÷ 131072     		x = 0.516464233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44894 ÷ 217
    44894 ÷ 131072     		y = 0.342514038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516464233398438 × 2 - 1) × π
    0.032928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10344783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342514038085938 × 2 - 1) × π
    0.314971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.989513481957199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10344783} λ = 0.10344783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989513481957199))-π/2
    2×atan(2.68992545667675)-π/2
    2×1.21487141014295-π/2
    2.42974282028589-1.57079632675     		φ = 0.85894649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10344783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.927124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85894649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.214009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67694 KachelY 44894 0.10344783 0.85894649 5.927124 49.214009
    Oben rechts KachelX + 1 67695 KachelY 44894 0.10349577 0.85894649 5.929871 49.214009
    Unten links KachelX 67694 KachelY + 1 44895 0.10344783 0.85891518 5.927124 49.212215
    Unten rechts KachelX + 1 67695 KachelY + 1 44895 0.10349577 0.85891518 5.929871 49.212215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85894649-0.85891518) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dl = 199.476010000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85894649-0.85891518) × R
    3.13100000000066e-05 × 6371000     		dr = 199.476010000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10344783-0.10349577) × cos(0.85894649) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653235500670102 × 6371000     		do = 199.514936186421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10344783-0.10349577) × cos(0.85891518) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.65325920686648 × 6371000     		du = 199.522176668993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85894649)-sin(0.85891518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653235500670102-0.65325920686648)×R²
    abs(0.10349577-0.10344783)×2.37061963784813e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37061963784813e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37061963784813e-05×40589641000000     		ar = 39799.165560419m²