Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67690 / 44883
↖ ↑ ↗
← N 49.233741°
E  5.916138°		 ← 199.44 m → N 49.233741°
E  5.918884°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
N 49.231947°
E  5.916138°		 ← 199.44 m →
39 771 m²		 N 49.231947°
E  5.918884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516437530517578 y=0.342433929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516437530517578 × 217)
    floor (0.516437530517578 × 131072)
    floor (67690.5)     		tx = 67690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342433929443359 × 217)
    floor (0.342433929443359 × 131072)
    floor (44883.5)     		ty = 44883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67690 / 44883 ti = "17/67690/44883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67690/44883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67690 ÷ 217
    67690 ÷ 131072     		x = 0.516433715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44883 ÷ 217
    44883 ÷ 131072     		y = 0.342430114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516433715820312 × 2 - 1) × π
    0.032867431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10325608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342430114746094 × 2 - 1) × π
    0.315139770507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.99004078785302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10325608} λ = 0.10325608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99004078785302))-π/2
    2×atan(2.69134424426403)-π/2
    2×1.21504360322776-π/2
    2.43008720645551-1.57079632675     		φ = 0.85929088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10325608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.916138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85929088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.233741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67690 KachelY 44883 0.10325608 0.85929088 5.916138 49.233741
    Oben rechts KachelX + 1 67691 KachelY 44883 0.10330402 0.85929088 5.918884 49.233741
    Unten links KachelX 67690 KachelY + 1 44884 0.10325608 0.85925958 5.916138 49.231947
    Unten rechts KachelX + 1 67691 KachelY + 1 44884 0.10330402 0.85925958 5.918884 49.231947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85929088-0.85925958) × R
    3.12999999999564e-05 × 6371000     		dl = 199.412299999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85929088-0.85925958) × R
    3.12999999999564e-05 × 6371000     		dr = 199.412299999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10325608-0.10330402) × cos(0.85929088) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.652974705397747 × 6371000     		do = 199.435282597373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10325608-0.10330402) × cos(0.85925958) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.652998411062995 × 6371000     		du = 199.442522917724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85929088)-sin(0.85925958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652974705397747-0.652998411062995)×R²
    abs(0.10330402-0.10325608)×2.37056652484524e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37056652484524e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37056652484524e-05×40589641000000     		ar = 39770.5703115354m²