Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67690 / 44879
↖ ↑ ↗
← N 49.240914°
E  5.916138°		 ← 199.41 m → N 49.240914°
E  5.918884°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
N 49.239121°
E  5.916138°		 ← 199.41 m →
39 765 m²		 N 49.239121°
E  5.918884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516437530517578 y=0.342403411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516437530517578 × 217)
    floor (0.516437530517578 × 131072)
    floor (67690.5)     		tx = 67690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342403411865234 × 217)
    floor (0.342403411865234 × 131072)
    floor (44879.5)     		ty = 44879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67690 / 44879 ti = "17/67690/44879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67690/44879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67690 ÷ 217
    67690 ÷ 131072     		x = 0.516433715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44879 ÷ 217
    44879 ÷ 131072     		y = 0.342399597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516433715820312 × 2 - 1) × π
    0.032867431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10325608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342399597167969 × 2 - 1) × π
    0.315200805664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.9902325354515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10325608} λ = 0.10325608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.9902325354515))-π/2
    2×atan(2.69186035253923)-π/2
    2×1.21510620184786-π/2
    2.43021240369571-1.57079632675     		φ = 0.85941608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10325608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.916138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85941608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.240914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67690 KachelY 44879 0.10325608 0.85941608 5.916138 49.240914
    Oben rechts KachelX + 1 67691 KachelY 44879 0.10330402 0.85941608 5.918884 49.240914
    Unten links KachelX 67690 KachelY + 1 44880 0.10325608 0.85938478 5.916138 49.239121
    Unten rechts KachelX + 1 67691 KachelY + 1 44880 0.10330402 0.85938478 5.918884 49.239121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85941608-0.85938478) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dl = 199.412300000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85941608-0.85938478) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dr = 199.412300000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10325608-0.10330402) × cos(0.85941608) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.652879876339857 × 6371000     		do = 199.406319362194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10325608-0.10330402) × cos(0.85938478) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.652903584563817 × 6371000     		du = 199.413560464041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85941608)-sin(0.85938478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652879876339857-0.652903584563817)×R²
    abs(0.10330402-0.10325608)×2.37082239603614e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37082239603614e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37082239603614e-05×40589641000000     		ar = 39764.7947641969m²