Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6769 / 6258
↖ ↑ ↗
← S 68.431513°
E117.465820°		 ← 1 796.34 m → S 68.431513°
E117.509765°		 →
↑
1 795.73 m
↓
↑
1 795.73 m
↓
S 68.447662°
E117.465820°		 ← 1 795.06 m →
3 224 590 m²		 S 68.447662°
E117.509765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82635498046875 y=0.76397705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82635498046875 × 213)
    floor (0.82635498046875 × 8192)
    floor (6769.5)     		tx = 6769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76397705078125 × 213)
    floor (0.76397705078125 × 8192)
    floor (6258.5)     		ty = 6258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6769 / 6258 ti = "13/6769/6258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6769/6258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6769 ÷ 213
    6769 ÷ 8192     		x = 0.8262939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6258 ÷ 213
    6258 ÷ 8192     		y = 0.763916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8262939453125 × 2 - 1) × π
    0.652587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.05016532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    -0.52783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65823323165698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05016532} λ = 2.05016532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65823323165698))-π/2
    2×atan(0.190475208563779)-π/2
    2×0.188220557769865-π/2
    0.37644111553973-1.57079632675     		φ = -1.19435521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05016532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.465820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19435521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.431513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6769 KachelY 6258 2.05016532 -1.19435521 117.465820 -68.431513
    Oben rechts KachelX + 1 6770 KachelY 6258 2.05093231 -1.19435521 117.509765 -68.431513
    Unten links KachelX 6769 KachelY + 1 6259 2.05016532 -1.19463707 117.465820 -68.447662
    Unten rechts KachelX + 1 6770 KachelY + 1 6259 2.05093231 -1.19463707 117.509765 -68.447662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19435521--1.19463707) × R
    0.000281860000000078 × 6371000     		dl = 1795.7300600005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19435521--1.19463707) × R
    0.000281860000000078 × 6371000     		dr = 1795.7300600005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05016532-2.05093231) × cos(-1.19435521) × R
    0.000766989999999801 × 0.367613118443052 × 6371000     		do = 1796.33903658748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05016532-2.05093231) × cos(-1.19463707) × R
    0.000766989999999801 × 0.367350980015386 × 6371000     		du = 1795.05809891964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19435521)-sin(-1.19463707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367613118443052-0.367350980015386)×R²
    abs(2.05093231-2.05016532)×0.000262138427666314×R²
    0.000766989999999801×0.000262138427666314×6371000²
    0.000766989999999801×0.000262138427666314×40589641000000     		ar = 3224589.91816109m²