Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6769 / 1936
↖ ↑ ↗
← N 79.624057°
W 31.267090°		 ← 440.05 m → N 79.624057°
W 31.245117°		 →
↑
440.17 m
↓
↑
440.17 m
↓
N 79.620098°
W 31.267090°		 ← 440.22 m →
193 734 m²		 N 79.620098°
W 31.245117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413177490234375 y=0.118194580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413177490234375 × 214)
    floor (0.413177490234375 × 16384)
    floor (6769.5)     		tx = 6769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118194580078125 × 214)
    floor (0.118194580078125 × 16384)
    floor (1936.5)     		ty = 1936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6769 / 1936 ti = "14/6769/1936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6769/1936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6769 ÷ 214
    6769 ÷ 16384     		x = 0.41314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1936 ÷ 214
    1936 ÷ 16384     		y = 0.1181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54571367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1181640625 × 2 - 1) × π
    0.763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39914595218457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54571367} λ = -0.54571367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39914595218457))-π/2
    2×atan(11.01376607993)-π/2
    2×1.48024913643465-π/2
    2.9604982728693-1.57079632675     		φ = 1.38970195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54571367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.267090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38970195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.624057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6769 KachelY 1936 -0.54571367 1.38970195 -31.267090 79.624057
    Oben rechts KachelX + 1 6770 KachelY 1936 -0.54533017 1.38970195 -31.245117 79.624057
    Unten links KachelX 6769 KachelY + 1 1937 -0.54571367 1.38963286 -31.267090 79.620098
    Unten rechts KachelX + 1 6770 KachelY + 1 1937 -0.54533017 1.38963286 -31.245117 79.620098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38970195-1.38963286) × R
    6.90899999999939e-05 × 6371000     		dl = 440.172389999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38970195-1.38963286) × R
    6.90899999999939e-05 × 6371000     		dr = 440.172389999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54571367--0.54533017) × cos(1.38970195) × R
    0.000383500000000092 × 0.180106161709778 × 6371000     		do = 440.049512623129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54571367--0.54533017) × cos(1.38963286) × R
    0.000383500000000092 × 0.18017412146338 × 6371000     		du = 440.215557227971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38970195)-sin(1.38963286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180106161709778-0.18017412146338)×R²
    abs(-0.54533017--0.54571367)×6.79597536024368e-05×R²
    0.000383500000000092×6.79597536024368e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.79597536024368e-05×40589641000000     		ar = 193734.189891502m²