Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6769 / 1749
↖ ↑ ↗
← N 80.338575°
W 31.267090°		 ← 410.04 m → N 80.338575°
W 31.245117°		 →
↑
410.10 m
↓
↑
410.10 m
↓
N 80.334887°
W 31.267090°		 ← 410.20 m →
168 192 m²		 N 80.334887°
W 31.245117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413177490234375 y=0.106781005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413177490234375 × 214)
    floor (0.413177490234375 × 16384)
    floor (6769.5)     		tx = 6769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106781005859375 × 214)
    floor (0.106781005859375 × 16384)
    floor (1749.5)     		ty = 1749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6769 / 1749 ti = "14/6769/1749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6769/1749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6769 ÷ 214
    6769 ÷ 16384     		x = 0.41314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1749 ÷ 214
    1749 ÷ 16384     		y = 0.10675048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54571367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10675048828125 × 2 - 1) × π
    0.7864990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47085955401617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54571367} λ = -0.54571367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47085955401617))-π/2
    2×atan(11.8326132519779)-π/2
    2×1.4864844880061-π/2
    2.9729689760122-1.57079632675     		φ = 1.40217265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54571367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.267090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40217265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.338575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6769 KachelY 1749 -0.54571367 1.40217265 -31.267090 80.338575
    Oben rechts KachelX + 1 6770 KachelY 1749 -0.54533017 1.40217265 -31.245117 80.338575
    Unten links KachelX 6769 KachelY + 1 1750 -0.54571367 1.40210828 -31.267090 80.334887
    Unten rechts KachelX + 1 6770 KachelY + 1 1750 -0.54533017 1.40210828 -31.245117 80.334887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40217265-1.40210828) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dl = 410.101270000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40217265-1.40210828) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dr = 410.101270000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54571367--0.54533017) × cos(1.40217265) × R
    0.000383500000000092 × 0.167825706071835 × 6371000     		do = 410.044939392732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54571367--0.54533017) × cos(1.40210828) × R
    0.000383500000000092 × 0.16788916274398 × 6371000     		du = 410.199981715465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40217265)-sin(1.40210828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167825706071835-0.16788916274398)×R²
    abs(-0.54533017--0.54571367)×6.34566721450236e-05×R²
    0.000383500000000092×6.34566721450236e-05×6371000²
    0.000383500000000092×6.34566721450236e-05×40589641000000     		ar = 168191.741987515m²