Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67689 / 68763
↖ ↑ ↗
← S  8.828081°
E  5.913391°		 ← 301.81 m → S  8.828081°
E  5.916138°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.830795°
E  5.913391°		 ← 301.81 m →
91 083 m²		 S  8.830795°
E  5.916138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516429901123047 y=0.524623870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516429901123047 × 217)
    floor (0.516429901123047 × 131072)
    floor (67689.5)     		tx = 67689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524623870849609 × 217)
    floor (0.524623870849609 × 131072)
    floor (68763.5)     		ty = 68763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67689 / 68763 ti = "17/67689/68763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67689/68763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67689 ÷ 217
    67689 ÷ 131072     		x = 0.516426086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68763 ÷ 217
    68763 ÷ 131072     		y = 0.524620056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516426086425781 × 2 - 1) × π
    0.0328521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10320814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524620056152344 × 2 - 1) × π
    -0.0492401123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.154692375073921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10320814} λ = 0.10320814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154692375073921))-π/2
    2×atan(0.856678672666045)-π/2
    2×0.708358622046974-π/2
    1.41671724409395-1.57079632675     		φ = -0.15407908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10320814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.913391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15407908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.828081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67689 KachelY 68763 0.10320814 -0.15407908 5.913391 -8.828081
    Oben rechts KachelX + 1 67690 KachelY 68763 0.10325608 -0.15407908 5.916138 -8.828081
    Unten links KachelX 67689 KachelY + 1 68764 0.10320814 -0.15412645 5.913391 -8.830795
    Unten rechts KachelX + 1 67690 KachelY + 1 68764 0.10325608 -0.15412645 5.916138 -8.830795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15407908--0.15412645) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15407908--0.15412645) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10320814-0.10325608) × cos(-0.15407908) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988153283512062 × 6371000     		do = 301.807447850078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10320814-0.10325608) × cos(-0.15412645) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.988146012522185 × 6371000     		du = 301.805227102614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15407908)-sin(-0.15412645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988153283512062-0.988146012522185)×R²
    abs(0.10325608-0.10320814)×7.27098987696184e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.27098987696184e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.27098987696184e-06×40589641000000     		ar = 91083.4233170334m²