Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67689 / 44882
↖ ↑ ↗
← N 49.235534°
E  5.913391°		 ← 199.43 m → N 49.235534°
E  5.916138°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
N 49.233741°
E  5.913391°		 ← 199.44 m →
39 769 m²		 N 49.233741°
E  5.916138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516429901123047 y=0.342426300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516429901123047 × 217)
    floor (0.516429901123047 × 131072)
    floor (67689.5)     		tx = 67689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342426300048828 × 217)
    floor (0.342426300048828 × 131072)
    floor (44882.5)     		ty = 44882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67689 / 44882 ti = "17/67689/44882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67689/44882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67689 ÷ 217
    67689 ÷ 131072     		x = 0.516426086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44882 ÷ 217
    44882 ÷ 131072     		y = 0.342422485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516426086425781 × 2 - 1) × π
    0.0328521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10320814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342422485351562 × 2 - 1) × π
    0.315155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.99008872475264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10320814} λ = 0.10320814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99008872475264))-π/2
    2×atan(2.69147326205524)-π/2
    2×1.2150592537351-π/2
    2.43011850747021-1.57079632675     		φ = 0.85932218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10320814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.913391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85932218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.235534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67689 KachelY 44882 0.10320814 0.85932218 5.913391 49.235534
    Oben rechts KachelX + 1 67690 KachelY 44882 0.10325608 0.85932218 5.916138 49.235534
    Unten links KachelX 67689 KachelY + 1 44883 0.10320814 0.85929088 5.913391 49.233741
    Unten rechts KachelX + 1 67690 KachelY + 1 44883 0.10325608 0.85929088 5.916138 49.233741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85932218-0.85929088) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dl = 199.412300000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85932218-0.85929088) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dr = 199.412300000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10320814-0.10325608) × cos(0.85932218) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.652950999092785 × 6371000     		do = 199.428042081638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10320814-0.10325608) × cos(0.85929088) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.652974705397747 × 6371000     		du = 199.435282597373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85932218)-sin(0.85929088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652950999092785-0.652974705397747)×R²
    abs(0.10325608-0.10320814)×2.37063049614017e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37063049614017e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37063049614017e-05×40589641000000     		ar = 39769.1264833002m²