Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67688 / 68764
↖ ↑ ↗
← S  8.830795°
E  5.910645°		 ← 301.74 m → S  8.830795°
E  5.913391°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.833509°
E  5.910645°		 ← 301.74 m →
91 064 m²		 S  8.833509°
E  5.913391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516422271728516 y=0.524631500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516422271728516 × 217)
    floor (0.516422271728516 × 131072)
    floor (67688.5)     		tx = 67688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524631500244141 × 217)
    floor (0.524631500244141 × 131072)
    floor (68764.5)     		ty = 68764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67688 / 68764 ti = "17/67688/68764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67688/68764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67688 ÷ 217
    67688 ÷ 131072     		x = 0.51641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68764 ÷ 217
    68764 ÷ 131072     		y = 0.524627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51641845703125 × 2 - 1) × π
    0.0328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10316021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.04925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.154740311973541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10316021} λ = 0.10316021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154740311973541))-π/2
    2×atan(0.856637607130792)-π/2
    2×0.708334937631734-π/2
    1.41666987526347-1.57079632675     		φ = -0.15412645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10316021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.910645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15412645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.830795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67688 KachelY 68764 0.10316021 -0.15412645 5.910645 -8.830795
    Oben rechts KachelX + 1 67689 KachelY 68764 0.10320814 -0.15412645 5.913391 -8.830795
    Unten links KachelX 67688 KachelY + 1 68765 0.10316021 -0.15417382 5.910645 -8.833509
    Unten rechts KachelX + 1 67689 KachelY + 1 68765 0.10320814 -0.15417382 5.913391 -8.833509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15412645--0.15417382) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15412645--0.15417382) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10316021-0.10320814) × cos(-0.15412645) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.988146012522185 × 6371000     		do = 301.74227232019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10316021-0.10320814) × cos(-0.15417382) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.98813873931499 × 6371000     		du = 301.740051358876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15412645)-sin(-0.15417382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988146012522185-0.98813873931499)×R²
    abs(0.10320814-0.10316021)×7.27320719462465e-06×R²
    4.79300000000016e-05×7.27320719462465e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×7.27320719462465e-06×40589641000000     		ar = 91063.7536833529m²