Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67687 / 68950
↖ ↑ ↗
← S  9.335252°
E  5.907898°		 ← 301.38 m → S  9.335252°
E  5.910645°		 →
↑
301.35 m
↓
↑
301.35 m
↓
S  9.337962°
E  5.907898°		 ← 301.38 m →
90 820 m²		 S  9.337962°
E  5.910645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516414642333984 y=0.526050567626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516414642333984 × 217)
    floor (0.516414642333984 × 131072)
    floor (67687.5)     		tx = 67687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.526050567626953 × 217)
    floor (0.526050567626953 × 131072)
    floor (68950.5)     		ty = 68950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67687 / 68950 ti = "17/67687/68950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67687/68950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67687 ÷ 217
    67687 ÷ 131072     		x = 0.516410827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68950 ÷ 217
    68950 ÷ 131072     		y = 0.526046752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516410827636719 × 2 - 1) × π
    0.0328216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10311227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.526046752929688 × 2 - 1) × π
    -0.052093505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.163656575302872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10311227} λ = 0.10311227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.163656575302872))-π/2
    2×atan(0.84903355090828)-π/2
    2×0.703932723097543-π/2
    1.40786544619509-1.57079632675     		φ = -0.16293088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10311227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.907898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16293088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.335252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67687 KachelY 68950 0.10311227 -0.16293088 5.907898 -9.335252
    Oben rechts KachelX + 1 67688 KachelY 68950 0.10316021 -0.16293088 5.910645 -9.335252
    Unten links KachelX 67687 KachelY + 1 68951 0.10311227 -0.16297818 5.907898 -9.337962
    Unten rechts KachelX + 1 67688 KachelY + 1 68951 0.10316021 -0.16297818 5.910645 -9.337962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16293088--0.16297818) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dl = 301.348300000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16293088--0.16297818) × R
    4.73000000000001e-05 × 6371000     		dr = 301.348300000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10311227-0.10316021) × cos(-0.16293088) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986756101332169 × 6371000     		do = 301.38071244887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10311227-0.10316021) × cos(-0.16297818) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.986748427649797 × 6371000     		du = 301.378368708753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16293088)-sin(-0.16297818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986756101332169-0.986748427649797)×R²
    abs(0.10316021-0.10311227)×7.67368237186705e-06×R²
    4.79399999999963e-05×7.67368237186705e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×7.67368237186705e-06×40589641000000     		ar = 90820.2122251109m²