Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67681 / 44903
↖ ↑ ↗
← N 49.197859°
E  5.891418°		 ← 199.58 m → N 49.197859°
E  5.894165°		 →
↑
199.54 m
↓
↑
199.54 m
↓
N 49.196064°
E  5.891418°		 ← 199.59 m →
39 825 m²		 N 49.196064°
E  5.894165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516368865966797 y=0.342586517333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516368865966797 × 217)
    floor (0.516368865966797 × 131072)
    floor (67681.5)     		tx = 67681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342586517333984 × 217)
    floor (0.342586517333984 × 131072)
    floor (44903.5)     		ty = 44903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67681 / 44903 ti = "17/67681/44903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67681/44903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67681 ÷ 217
    67681 ÷ 131072     		x = 0.516365051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44903 ÷ 217
    44903 ÷ 131072     		y = 0.342582702636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516365051269531 × 2 - 1) × π
    0.0327301025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10282465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342582702636719 × 2 - 1) × π
    0.314834594726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.989082049860619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10282465} λ = 0.10282465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989082049860619))-π/2
    2×atan(2.68876518680416)-π/2
    2×1.21473047374662-π/2
    2.42946094749325-1.57079632675     		φ = 0.85866462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10282465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.891418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85866462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.197859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67681 KachelY 44903 0.10282465 0.85866462 5.891418 49.197859
    Oben rechts KachelX + 1 67682 KachelY 44903 0.10287259 0.85866462 5.894165 49.197859
    Unten links KachelX 67681 KachelY + 1 44904 0.10282465 0.85863330 5.891418 49.196064
    Unten rechts KachelX + 1 67682 KachelY + 1 44904 0.10287259 0.85863330 5.894165 49.196064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85866462-0.85863330) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dl = 199.539719999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85866462-0.85863330) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dr = 199.539719999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10282465-0.10287259) × cos(0.85866462) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.65344889393879 × 6371000     		do = 199.580111983421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10282465-0.10287259) × cos(0.85863330) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653472601938592 × 6371000     		du = 199.587353016805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85866462)-sin(0.85863330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65344889393879-0.653472601938592)×R²
    abs(0.10287259-0.10282465)×2.37079998021139e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37079998021139e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37079998021139e-05×40589641000000     		ar = 39824.8821027168m²