Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6768 / 6350
↖ ↑ ↗
← S 69.869892°
E117.421875°		 ← 1 681.70 m → S 69.869892°
E117.465820°		 →
↑
1 681.05 m
↓
↑
1 681.05 m
↓
S 69.885010°
E117.421875°		 ← 1 680.49 m →
2 826 011 m²		 S 69.885010°
E117.465820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82623291015625 y=0.77520751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82623291015625 × 213)
    floor (0.82623291015625 × 8192)
    floor (6768.5)     		tx = 6768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77520751953125 × 213)
    floor (0.77520751953125 × 8192)
    floor (6350.5)     		ty = 6350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6768 / 6350 ti = "13/6768/6350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6768/6350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6768 ÷ 213
    6768 ÷ 8192     		x = 0.826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6350 ÷ 213
    6350 ÷ 8192     		y = 0.775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.826171875 × 2 - 1) × π
    0.65234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.04939833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775146484375 × 2 - 1) × π
    -0.55029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72879634789771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04939833} λ = 2.04939833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72879634789771))-π/2
    2×atan(0.177497927197094)-π/2
    2×0.1756683354844-π/2
    0.3513366709688-1.57079632675     		φ = -1.21945966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04939833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21945966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.869892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6768 KachelY 6350 2.04939833 -1.21945966 117.421875 -69.869892
    Oben rechts KachelX + 1 6769 KachelY 6350 2.05016532 -1.21945966 117.465820 -69.869892
    Unten links KachelX 6768 KachelY + 1 6351 2.04939833 -1.21972352 117.421875 -69.885010
    Unten rechts KachelX + 1 6769 KachelY + 1 6351 2.05016532 -1.21972352 117.465820 -69.885010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21945966--1.21972352) × R
    0.000263860000000005 × 6371000     		dl = 1681.05206000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21945966--1.21972352) × R
    0.000263860000000005 × 6371000     		dr = 1681.05206000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04939833-2.05016532) × cos(-1.21945966) × R
    0.000766990000000245 × 0.344153129070886 × 6371000     		do = 1681.70195593793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04939833-2.05016532) × cos(-1.21972352) × R
    0.000766990000000245 × 0.343905375368429 × 6371000     		du = 1680.4913091333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21945966)-sin(-1.21972352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344153129070886-0.343905375368429)×R²
    abs(2.05016532-2.04939833)×0.000247753702456999×R²
    0.000766990000000245×0.000247753702456999×6371000²
    0.000766990000000245×0.000247753702456999×40589641000000     		ar = 2826010.97357663m²