Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67677 / 46910
↖ ↑ ↗
← N 45.463983°
E  5.880432°		 ← 214.21 m → N 45.463983°
E  5.883179°		 →
↑
214.19 m
↓
↑
214.19 m
↓
N 45.462057°
E  5.880432°		 ← 214.22 m →
45 884 m²		 N 45.462057°
E  5.883179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516338348388672 y=0.357898712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516338348388672 × 217)
    floor (0.516338348388672 × 131072)
    floor (67677.5)     		tx = 67677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357898712158203 × 217)
    floor (0.357898712158203 × 131072)
    floor (46910.5)     		ty = 46910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67677 / 46910 ti = "17/67677/46910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67677/46910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67677 ÷ 217
    67677 ÷ 131072     		x = 0.516334533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46910 ÷ 217
    46910 ÷ 131072     		y = 0.357894897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516334533691406 × 2 - 1) × π
    0.0326690673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10263290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357894897460938 × 2 - 1) × π
    0.284210205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.892872692323166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10263290} λ = 0.10263290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892872692323166))-π/2
    2×atan(2.44213508695807)-π/2
    2×1.18214626444969-π/2
    2.36429252889939-1.57079632675     		φ = 0.79349620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10263290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.880432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79349620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.463983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67677 KachelY 46910 0.10263290 0.79349620 5.880432 45.463983
    Oben rechts KachelX + 1 67678 KachelY 46910 0.10268084 0.79349620 5.883179 45.463983
    Unten links KachelX 67677 KachelY + 1 46911 0.10263290 0.79346258 5.880432 45.462057
    Unten rechts KachelX + 1 67678 KachelY + 1 46911 0.10268084 0.79346258 5.883179 45.462057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79349620-0.79346258) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dl = 214.193019999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79349620-0.79346258) × R
    3.36199999999565e-05 × 6371000     		dr = 214.193019999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10263290-0.10268084) × cos(0.79349620) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701357481908641 × 6371000     		do = 214.212627916467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10263290-0.10268084) × cos(0.79346258) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.701381446174711 × 6371000     		du = 214.219947220165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79349620)-sin(0.79346258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701357481908641-0.701381446174711)×R²
    abs(0.10268084-0.10263290)×2.39642660696537e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39642660696537e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39642660696537e-05×40589641000000     		ar = 45883.6335716726m²