Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67676 / 46909
↖ ↑ ↗
← N 45.465910°
E  5.877686°		 ← 214.16 m → N 45.465910°
E  5.880432°		 →
↑
214.19 m
↓
↑
214.19 m
↓
N 45.463983°
E  5.877686°		 ← 214.17 m →
45 872 m²		 N 45.463983°
E  5.880432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516330718994141 y=0.357891082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516330718994141 × 217)
    floor (0.516330718994141 × 131072)
    floor (67676.5)     		tx = 67676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357891082763672 × 217)
    floor (0.357891082763672 × 131072)
    floor (46909.5)     		ty = 46909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67676 / 46909 ti = "17/67676/46909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67676/46909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67676 ÷ 217
    67676 ÷ 131072     		x = 0.516326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46909 ÷ 217
    46909 ÷ 131072     		y = 0.357887268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516326904296875 × 2 - 1) × π
    0.03265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10258497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357887268066406 × 2 - 1) × π
    0.284225463867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.892920629222786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10258497} λ = 0.10258497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.892920629222786))-π/2
    2×atan(2.44225215814858)-π/2
    2×1.18216307461406-π/2
    2.36432614922811-1.57079632675     		φ = 0.79352982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10258497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.877686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79352982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.465910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67676 KachelY 46909 0.10258497 0.79352982 5.877686 45.465910
    Oben rechts KachelX + 1 67677 KachelY 46909 0.10263290 0.79352982 5.880432 45.465910
    Unten links KachelX 67676 KachelY + 1 46910 0.10258497 0.79349620 5.877686 45.463983
    Unten rechts KachelX + 1 67677 KachelY + 1 46910 0.10263290 0.79349620 5.880432 45.463983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79352982-0.79349620) × R
    3.36200000000675e-05 × 6371000     		dl = 214.19302000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79352982-0.79349620) × R
    3.36200000000675e-05 × 6371000     		dr = 214.19302000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10258497-0.10263290) × cos(0.79352982) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.701333516849824 × 6371000     		do = 214.160626412309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10258497-0.10263290) × cos(0.79349620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.701357481908641 × 6371000     		du = 214.167944431318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79352982)-sin(0.79349620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701333516849824-0.701357481908641)×R²
    abs(0.10263290-0.10258497)×2.3965058817077e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3965058817077e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3965058817077e-05×40589641000000     		ar = 45872.4950750696m²