Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67676 / 44900
↖ ↑ ↗
← N 49.203243°
E  5.877686°		 ← 199.52 m → N 49.203243°
E  5.880432°		 →
↑
199.54 m
↓
↑
199.54 m
↓
N 49.201448°
E  5.877686°		 ← 199.52 m →
39 812 m²		 N 49.201448°
E  5.880432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516330718994141 y=0.342563629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516330718994141 × 217)
    floor (0.516330718994141 × 131072)
    floor (67676.5)     		tx = 67676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342563629150391 × 217)
    floor (0.342563629150391 × 131072)
    floor (44900.5)     		ty = 44900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67676 / 44900 ti = "17/67676/44900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67676/44900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67676 ÷ 217
    67676 ÷ 131072     		x = 0.516326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44900 ÷ 217
    44900 ÷ 131072     		y = 0.342559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516326904296875 × 2 - 1) × π
    0.03265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10258497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342559814453125 × 2 - 1) × π
    0.31488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.989225860559479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10258497} λ = 0.10258497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.989225860559479))-π/2
    2×atan(2.68915188780995)-π/2
    2×1.21477745766018-π/2
    2.42955491532036-1.57079632675     		φ = 0.85875859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10258497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.877686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85875859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.203243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67676 KachelY 44900 0.10258497 0.85875859 5.877686 49.203243
    Oben rechts KachelX + 1 67677 KachelY 44900 0.10263290 0.85875859 5.880432 49.203243
    Unten links KachelX 67676 KachelY + 1 44901 0.10258497 0.85872727 5.877686 49.201448
    Unten rechts KachelX + 1 67677 KachelY + 1 44901 0.10263290 0.85872727 5.880432 49.201448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85875859-0.85872727) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dl = 199.539719999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85875859-0.85872727) × R
    3.13199999999458e-05 × 6371000     		dr = 199.539719999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10258497-0.10263290) × cos(0.85875859) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.653377758523182 × 6371000     		do = 199.516758699495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10258497-0.10263290) × cos(0.85872727) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.653401468446106 × 6371000     		du = 199.523998809691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85875859)-sin(0.85872727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653377758523182-0.653401468446106)×R²
    abs(0.10263290-0.10258497)×2.37099229242199e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37099229242199e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37099229242199e-05×40589641000000     		ar = 39812.2405141498m²