Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67675 / 44885
↖ ↑ ↗
← N 49.230154°
E  5.874939°		 ← 199.45 m → N 49.230154°
E  5.877686°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
N 49.228360°
E  5.874939°		 ← 199.46 m →
39 773 m²		 N 49.228360°
E  5.877686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516323089599609 y=0.342449188232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516323089599609 × 217)
    floor (0.516323089599609 × 131072)
    floor (67675.5)     		tx = 67675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342449188232422 × 217)
    floor (0.342449188232422 × 131072)
    floor (44885.5)     		ty = 44885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67675 / 44885 ti = "17/67675/44885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67675/44885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67675 ÷ 217
    67675 ÷ 131072     		x = 0.516319274902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44885 ÷ 217
    44885 ÷ 131072     		y = 0.342445373535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516319274902344 × 2 - 1) × π
    0.0326385498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10253703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342445373535156 × 2 - 1) × π
    0.315109252929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.98994491405378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10253703} λ = 0.10253703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98994491405378))-π/2
    2×atan(2.691086227235)-π/2
    2×1.21501230050838-π/2
    2.43002460101676-1.57079632675     		φ = 0.85922827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10253703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.874939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85922827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.230154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67675 KachelY 44885 0.10253703 0.85922827 5.874939 49.230154
    Oben rechts KachelX + 1 67676 KachelY 44885 0.10258497 0.85922827 5.877686 49.230154
    Unten links KachelX 67675 KachelY + 1 44886 0.10253703 0.85919697 5.874939 49.228360
    Unten rechts KachelX + 1 67676 KachelY + 1 44886 0.10258497 0.85919697 5.877686 49.228360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85922827-0.85919697) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dl = 199.412300000429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85922827-0.85919697) × R
    3.13000000000674e-05 × 6371000     		dr = 199.412300000429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10253703-0.10258497) × cos(0.85922827) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653022123661896 × 6371000     		do = 199.449765355791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10253703-0.10258497) × cos(0.85919697) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.653045828047445 × 6371000     		du = 199.457005285288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85922827)-sin(0.85919697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653022123661896-0.653045828047445)×R²
    abs(0.10258497-0.10253703)×2.37043855488839e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37043855488839e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37043855488839e-05×40589641000000     		ar = 39773.4583130132m²