Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67673 / 71623
↖ ↑ ↗
← S 16.486131°
E  5.869446°		 ← 292.87 m → S 16.486131°
E  5.872192°		 →
↑
292.87 m
↓
↑
292.87 m
↓
S 16.488765°
E  5.869446°		 ← 292.87 m →
85 773 m²		 S 16.488765°
E  5.872192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516307830810547 y=0.546443939208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516307830810547 × 217)
    floor (0.516307830810547 × 131072)
    floor (67673.5)     		tx = 67673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546443939208984 × 217)
    floor (0.546443939208984 × 131072)
    floor (71623.5)     		ty = 71623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67673 / 71623 ti = "17/67673/71623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67673/71623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67673 ÷ 217
    67673 ÷ 131072     		x = 0.516304016113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71623 ÷ 217
    71623 ÷ 131072     		y = 0.546440124511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516304016113281 × 2 - 1) × π
    0.0326080322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10244115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546440124511719 × 2 - 1) × π
    -0.0928802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.291791907987282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10244115} λ = 0.10244115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.291791907987282))-π/2
    2×atan(0.746923948710556)-π/2
    2×0.641529527469942-π/2
    1.28305905493988-1.57079632675     		φ = -0.28773727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10244115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.869446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28773727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.486131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67673 KachelY 71623 0.10244115 -0.28773727 5.869446 -16.486131
    Oben rechts KachelX + 1 67674 KachelY 71623 0.10248909 -0.28773727 5.872192 -16.486131
    Unten links KachelX 67673 KachelY + 1 71624 0.10244115 -0.28778324 5.869446 -16.488765
    Unten rechts KachelX + 1 67674 KachelY + 1 71624 0.10248909 -0.28778324 5.872192 -16.488765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28773727--0.28778324) × R
    4.59700000000063e-05 × 6371000     		dl = 292.87487000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28773727--0.28778324) × R
    4.59700000000063e-05 × 6371000     		dr = 292.87487000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10244115-0.10248909) × cos(-0.28773727) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958888454560973 × 6371000     		do = 292.869215811804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10244115-0.10248909) × cos(-0.28778324) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958875408031897 × 6371000     		du = 292.865231066006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28773727)-sin(-0.28778324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958888454560973-0.958875408031897)×R²
    abs(0.10248909-0.10244115)×1.30465290760773e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.30465290760773e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.30465290760773e-05×40589641000000     		ar = 85773.4500070414m²