Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67671 / 71622
↖ ↑ ↗
← S 16.483498°
E  5.863953°		 ← 292.87 m → S 16.483498°
E  5.866699°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
S 16.486131°
E  5.863953°		 ← 292.87 m →
85 756 m²		 S 16.486131°
E  5.866699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516292572021484 y=0.546436309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516292572021484 × 217)
    floor (0.516292572021484 × 131072)
    floor (67671.5)     		tx = 67671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546436309814453 × 217)
    floor (0.546436309814453 × 131072)
    floor (71622.5)     		ty = 71622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67671 / 71622 ti = "17/67671/71622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67671/71622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67671 ÷ 217
    67671 ÷ 131072     		x = 0.516288757324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71622 ÷ 217
    71622 ÷ 131072     		y = 0.546432495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516288757324219 × 2 - 1) × π
    0.0325775146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10234528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546432495117188 × 2 - 1) × π
    -0.092864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.291743971087662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10234528} λ = 0.10234528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.291743971087662))-π/2
    2×atan(0.746959754787119)-π/2
    2×0.641552510696045-π/2
    1.28310502139209-1.57079632675     		φ = -0.28769131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10234528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.863953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28769131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.483498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67671 KachelY 71622 0.10234528 -0.28769131 5.863953 -16.483498
    Oben rechts KachelX + 1 67672 KachelY 71622 0.10239322 -0.28769131 5.866699 -16.483498
    Unten links KachelX 67671 KachelY + 1 71623 0.10234528 -0.28773727 5.863953 -16.486131
    Unten rechts KachelX + 1 67672 KachelY + 1 71623 0.10239322 -0.28773727 5.866699 -16.486131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28769131--0.28773727) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28769131--0.28773727) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10234528-0.10239322) × cos(-0.28769131) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958901496226296 × 6371000     		do = 292.873199072001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10234528-0.10239322) × cos(-0.28773727) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958888454560973 × 6371000     		du = 292.869215811719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28769131)-sin(-0.28773727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958901496226296-0.958888454560973)×R²
    abs(0.10239322-0.10234528)×1.30416653221221e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.30416653221221e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30416653221221e-05×40589641000000     		ar = 85755.9579967201m²