Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6767 / 1487
↖ ↑ ↗
← N 81.258372°
W 31.311035°		 ← 371.33 m → N 81.258372°
W 31.289062°		 →
↑
371.37 m
↓
↑
371.37 m
↓
N 81.255032°
W 31.311035°		 ← 371.47 m →
137 924 m²		 N 81.255032°
W 31.289062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.413055419921875 y=0.090789794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.413055419921875 × 214)
    floor (0.413055419921875 × 16384)
    floor (6767.5)     		tx = 6767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.090789794921875 × 214)
    floor (0.090789794921875 × 16384)
    floor (1487.5)     		ty = 1487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6767 / 1487 ti = "14/6767/1487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6767/1487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6767 ÷ 214
    6767 ÷ 16384     		x = 0.41302490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1487 ÷ 214
    1487 ÷ 16384     		y = 0.09075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1739501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54648066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09075927734375 × 2 - 1) × π
    0.8184814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57133529561981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54648066} λ = -0.54648066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57133529561981))-π/2
    2×atan(13.0832828325426)-π/2
    2×1.49451123423268-π/2
    2.98902246846537-1.57079632675     		φ = 1.41822614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54648066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.311035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41822614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.258372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6767 KachelY 1487 -0.54648066 1.41822614 -31.311035 81.258372
    Oben rechts KachelX + 1 6768 KachelY 1487 -0.54609716 1.41822614 -31.289062 81.258372
    Unten links KachelX 6767 KachelY + 1 1488 -0.54648066 1.41816785 -31.311035 81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 6768 KachelY + 1 1488 -0.54609716 1.41816785 -31.289062 81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41822614-1.41816785) × R
    5.82900000001274e-05 × 6371000     		dl = 371.365590000812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41822614-1.41816785) × R
    5.82900000001274e-05 × 6371000     		dr = 371.365590000812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54648066--0.54609716) × cos(1.41822614) × R
    0.000383499999999981 × 0.151978962459915 × 6371000     		do = 371.326931430599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54648066--0.54609716) × cos(1.41816785) × R
    0.000383499999999981 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 371.467695129136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41822614)-sin(1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151978962459915-0.152036575089231)×R²
    abs(-0.54609716--0.54648066)×5.76126293165558e-05×R²
    0.000383499999999981×5.76126293165558e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.76126293165558e-05×40589641000000     		ar = 137924.182410517m²