Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6766 / 8057
↖ ↑ ↗
← N 79.309775°
W142.833252°		 ← 113.31 m → N 79.309775°
W142.827759°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
N 79.308756°
W142.833252°		 ← 113.32 m →
12 843 m²		 N 79.308756°
W142.827759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103248596191406 y=0.122947692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103248596191406 × 216)
    floor (0.103248596191406 × 65536)
    floor (6766.5)     		tx = 6766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122947692871094 × 216)
    floor (0.122947692871094 × 65536)
    floor (8057.5)     		ty = 8057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6766 / 8057 ti = "16/6766/8057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6766/8057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6766 ÷ 216
    6766 ÷ 65536     		x = 0.103240966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8057 ÷ 216
    8057 ÷ 65536     		y = 0.122940063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.79351806640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.49291053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122940063476562 × 2 - 1) × π
    0.754119873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36913745302242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49291053} λ = -2.49291053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36913745302242))-π/2
    2×atan(10.6881692589464)-π/2
    2×1.4775065130912-π/2
    2.95501302618241-1.57079632675     		φ = 1.38421670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49291053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.833252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38421670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.309775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6766 KachelY 8057 -2.49291053 1.38421670 -142.833252 79.309775
    Oben rechts KachelX + 1 6767 KachelY 8057 -2.49281465 1.38421670 -142.827759 79.309775
    Unten links KachelX 6766 KachelY + 1 8058 -2.49291053 1.38419891 -142.833252 79.308756
    Unten rechts KachelX + 1 6767 KachelY + 1 8058 -2.49281465 1.38419891 -142.827759 79.308756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38421670-1.38419891) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38421670-1.38419891) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49291053--2.49281465) × cos(1.38421670) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18549897582794 × 6371000     		do = 113.312323922907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49291053--2.49281465) × cos(1.38419891) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185516457043486 × 6371000     		du = 113.323002349295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38421670)-sin(1.38419891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18549897582794-0.185516457043486)×R²
    abs(-2.49281465--2.49291053)×1.74812155452897e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.74812155452897e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74812155452897e-05×40589641000000     		ar = 12843.4341386885m²