Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6766 / 6257
↖ ↑ ↗
← S 68.415352°
E117.333984°		 ← 1 797.62 m → S 68.415352°
E117.377930°		 →
↑
1 797 m
↓
↑
1 797 m
↓
S 68.431513°
E117.333984°		 ← 1 796.34 m →
3 229 181 m²		 S 68.431513°
E117.377930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82598876953125 y=0.76385498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82598876953125 × 213)
    floor (0.82598876953125 × 8192)
    floor (6766.5)     		tx = 6766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76385498046875 × 213)
    floor (0.76385498046875 × 8192)
    floor (6257.5)     		ty = 6257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6766 / 6257 ti = "13/6766/6257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6766/6257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6766 ÷ 213
    6766 ÷ 8192     		x = 0.825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6257 ÷ 213
    6257 ÷ 8192     		y = 0.7637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.825927734375 × 2 - 1) × π
    0.65185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04786435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.527587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65746624126306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04786435} λ = 2.04786435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65746624126306))-π/2
    2×atan(0.190621357259185)-π/2
    2×0.188361585923452-π/2
    0.376723171846905-1.57079632675     		φ = -1.19407315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04786435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.333984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19407315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.415352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6766 KachelY 6257 2.04786435 -1.19407315 117.333984 -68.415352
    Oben rechts KachelX + 1 6767 KachelY 6257 2.04863134 -1.19407315 117.377930 -68.415352
    Unten links KachelX 6766 KachelY + 1 6258 2.04786435 -1.19435521 117.333984 -68.431513
    Unten rechts KachelX + 1 6767 KachelY + 1 6258 2.04863134 -1.19435521 117.377930 -68.431513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19407315--1.19435521) × R
    0.000282059999999973 × 6371000     		dl = 1797.00425999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19407315--1.19435521) × R
    0.000282059999999973 × 6371000     		dr = 1797.00425999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04786435-2.04863134) × cos(-1.19407315) × R
    0.000766989999999801 × 0.367875413640697 × 6371000     		do = 1797.62074031077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04786435-2.04863134) × cos(-1.19435521) × R
    0.000766989999999801 × 0.367613118443052 × 6371000     		du = 1796.33903658748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19407315)-sin(-1.19435521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367875413640697-0.367613118443052)×R²
    abs(2.04863134-2.04786435)×0.000262295197645368×R²
    0.000766989999999801×0.000262295197645368×6371000²
    0.000766989999999801×0.000262295197645368×40589641000000     		ar = 3229180.53608751m²