Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67657 / 71640
↖ ↑ ↗
← S 16.530899°
E  5.825500°		 ← 292.80 m → S 16.530899°
E  5.828247°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
S 16.533531°
E  5.825500°		 ← 292.80 m →
85 716 m²		 S 16.533531°
E  5.828247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516185760498047 y=0.546573638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516185760498047 × 217)
    floor (0.516185760498047 × 131072)
    floor (67657.5)     		tx = 67657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546573638916016 × 217)
    floor (0.546573638916016 × 131072)
    floor (71640.5)     		ty = 71640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67657 / 71640 ti = "17/67657/71640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67657/71640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67657 ÷ 217
    67657 ÷ 131072     		x = 0.516181945800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71640 ÷ 217
    71640 ÷ 131072     		y = 0.54656982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516181945800781 × 2 - 1) × π
    0.0323638916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10167416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.0931396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.292606835280823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10167416} λ = 0.10167416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292606835280823))-π/2
    2×atan(0.746315507949716)-π/2
    2×0.641138860498464-π/2
    1.28227772099693-1.57079632675     		φ = -0.28851861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10167416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.825500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28851861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.530899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67657 KachelY 71640 0.10167416 -0.28851861 5.825500 -16.530899
    Oben rechts KachelX + 1 67658 KachelY 71640 0.10172210 -0.28851861 5.828247 -16.530899
    Unten links KachelX 67657 KachelY + 1 71641 0.10167416 -0.28856456 5.825500 -16.533531
    Unten rechts KachelX + 1 67658 KachelY + 1 71641 0.10172210 -0.28856456 5.828247 -16.533531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28851861--0.28856456) × R
    4.59500000000168e-05 × 6371000     		dl = 292.747450000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28851861--0.28856456) × R
    4.59500000000168e-05 × 6371000     		dr = 292.747450000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10167416-0.10172210) × cos(-0.28851861) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958666430683785 × 6371000     		do = 292.801404004731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10167416-0.10172210) × cos(-0.28856456) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958653355408911 × 6371000     		du = 292.797410479227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28851861)-sin(-0.28856456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958666430683785-0.958653355408911)×R²
    abs(0.10172210-0.10167416)×1.30752748742635e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.30752748742635e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30752748742635e-05×40589641000000     		ar = 85716.2798467539m²