Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67656 / 69366
↖ ↑ ↗
← S 10.460804°
E  5.822754°		 ← 300.29 m → S 10.460804°
E  5.825500°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.463505°
E  5.822754°		 ← 300.28 m →
90 184 m²		 S 10.463505°
E  5.825500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516178131103516 y=0.529224395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516178131103516 × 217)
    floor (0.516178131103516 × 131072)
    floor (67656.5)     		tx = 67656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529224395751953 × 217)
    floor (0.529224395751953 × 131072)
    floor (69366.5)     		ty = 69366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67656 / 69366 ti = "17/67656/69366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67656/69366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67656 ÷ 217
    67656 ÷ 131072     		x = 0.51617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69366 ÷ 217
    69366 ÷ 131072     		y = 0.529220581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51617431640625 × 2 - 1) × π
    0.0323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10162623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529220581054688 × 2 - 1) × π
    -0.058441162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.183598325544815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10162623} λ = 0.10162623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.183598325544815))-π/2
    2×atan(0.832270038309656)-π/2
    2×0.694110429583456-π/2
    1.38822085916691-1.57079632675     		φ = -0.18257547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10162623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18257547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.460804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67656 KachelY 69366 0.10162623 -0.18257547 5.822754 -10.460804
    Oben rechts KachelX + 1 67657 KachelY 69366 0.10167416 -0.18257547 5.825500 -10.460804
    Unten links KachelX 67656 KachelY + 1 69367 0.10162623 -0.18262261 5.822754 -10.463505
    Unten rechts KachelX + 1 67657 KachelY + 1 69367 0.10167416 -0.18262261 5.825500 -10.463505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18257547--0.18262261) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18257547--0.18262261) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10162623-0.10167416) × cos(-0.18257547) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983379345064089 × 6371000     		do = 300.286713068851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10162623-0.10167416) × cos(-0.18262261) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.983370785099343 × 6371000     		du = 300.284099180639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18257547)-sin(-0.18262261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983379345064089-0.983370785099343)×R²
    abs(0.10167416-0.10162623)×8.5599647455803e-06×R²
    4.79300000000016e-05×8.5599647455803e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×8.5599647455803e-06×40589641000000     		ar = 90184.3977356085m²