Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6765 / 1573
↖ ↑ ↗
← N 80.966455°
W 31.354981°		 ← 383.63 m → N 80.966455°
W 31.333008°		 →
↑
383.73 m
↓
↑
383.73 m
↓
N 80.963004°
W 31.354981°		 ← 383.77 m →
147 235 m²		 N 80.963004°
W 31.333008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412933349609375 y=0.096038818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412933349609375 × 214)
    floor (0.412933349609375 × 16384)
    floor (6765.5)     		tx = 6765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.096038818359375 × 214)
    floor (0.096038818359375 × 16384)
    floor (1573.5)     		ty = 1573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6765 / 1573 ti = "14/6765/1573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6765/1573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6765 ÷ 214
    6765 ÷ 16384     		x = 0.41290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1573 ÷ 214
    1573 ÷ 16384     		y = 0.09600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41290283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.54724765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09600830078125 × 2 - 1) × π
    0.8079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53835470868121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54724765} λ = -0.54724765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53835470868121))-π/2
    2×atan(12.6588263706825)-π/2
    2×1.49196377248421-π/2
    2.98392754496841-1.57079632675     		φ = 1.41313122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54724765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.354981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41313122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.966455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6765 KachelY 1573 -0.54724765 1.41313122 -31.354981 80.966455
    Oben rechts KachelX + 1 6766 KachelY 1573 -0.54686415 1.41313122 -31.333008 80.966455
    Unten links KachelX 6765 KachelY + 1 1574 -0.54724765 1.41307099 -31.354981 80.963004
    Unten rechts KachelX + 1 6766 KachelY + 1 1574 -0.54686415 1.41307099 -31.333008 80.963004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41313122-1.41307099) × R
    6.02299999998834e-05 × 6371000     		dl = 383.725329999257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41313122-1.41307099) × R
    6.02299999998834e-05 × 6371000     		dr = 383.725329999257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54724765--0.54686415) × cos(1.41313122) × R
    0.000383499999999981 × 0.157012704153405 × 6371000     		do = 383.625764284856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54724765--0.54686415) × cos(1.41307099) × R
    0.000383499999999981 × 0.157072186810768 × 6371000     		du = 383.771096982715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41313122)-sin(1.41307099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157012704153405-0.157072186810768)×R²
    abs(-0.54686415--0.54724765)×5.94826573636353e-05×R²
    0.000383499999999981×5.94826573636353e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.94826573636353e-05×40589641000000     		ar = 147234.806958539m²