Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67649 / 69353
↖ ↑ ↗
← S 10.425690°
E  5.803528°		 ← 300.38 m → S 10.425690°
E  5.806275°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
S 10.428391°
E  5.803528°		 ← 300.38 m →
90 233 m²		 S 10.428391°
E  5.806275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516124725341797 y=0.529125213623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516124725341797 × 217)
    floor (0.516124725341797 × 131072)
    floor (67649.5)     		tx = 67649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529125213623047 × 217)
    floor (0.529125213623047 × 131072)
    floor (69353.5)     		ty = 69353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67649 / 69353 ti = "17/67649/69353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67649/69353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67649 ÷ 217
    67649 ÷ 131072     		x = 0.516120910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69353 ÷ 217
    69353 ÷ 131072     		y = 0.529121398925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516120910644531 × 2 - 1) × π
    0.0322418212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10129067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529121398925781 × 2 - 1) × π
    -0.0582427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.182975145849754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10129067} λ = 0.10129067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182975145849754))-π/2
    2×atan(0.832788853739168)-π/2
    2×0.694416857919888-π/2
    1.38883371583978-1.57079632675     		φ = -0.18196261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10129067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.803528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18196261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.425690°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67649 KachelY 69353 0.10129067 -0.18196261 5.803528 -10.425690
    Oben rechts KachelX + 1 67650 KachelY 69353 0.10133861 -0.18196261 5.806275 -10.425690
    Unten links KachelX 67649 KachelY + 1 69354 0.10129067 -0.18200976 5.803528 -10.428391
    Unten rechts KachelX + 1 67650 KachelY + 1 69354 0.10133861 -0.18200976 5.806275 -10.428391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18196261--0.18200976) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18196261--0.18200976) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10129067-0.10133861) × cos(-0.18196261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983490432979928 × 6371000     		do = 300.383293275792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10129067-0.10133861) × cos(-0.18200976) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983481899616646 × 6371000     		du = 300.380686966997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18196261)-sin(-0.18200976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983490432979928-0.983481899616646)×R²
    abs(0.10133861-0.10129067)×8.53336328243692e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.53336328243692e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.53336328243692e-06×40589641000000     		ar = 90232.5420415325m²