Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67646 / 71686
↖ ↑ ↗
← S 16.651981°
E  5.795288°		 ← 292.62 m → S 16.651981°
E  5.798035°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
S 16.654612°
E  5.795288°		 ← 292.61 m →
85 625 m²		 S 16.654612°
E  5.798035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516101837158203 y=0.546924591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516101837158203 × 217)
    floor (0.516101837158203 × 131072)
    floor (67646.5)     		tx = 67646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546924591064453 × 217)
    floor (0.546924591064453 × 131072)
    floor (71686.5)     		ty = 71686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67646 / 71686 ti = "17/67646/71686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67646/71686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67646 ÷ 217
    67646 ÷ 131072     		x = 0.516098022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71686 ÷ 217
    71686 ÷ 131072     		y = 0.546920776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516098022460938 × 2 - 1) × π
    0.032196044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10114686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546920776367188 × 2 - 1) × π
    -0.093841552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.294811932663345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10114686} λ = 0.10114686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294811932663345))-π/2
    2×atan(0.744671622706234)-π/2
    2×0.640082216380836-π/2
    1.28016443276167-1.57079632675     		φ = -0.29063189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10114686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.795288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29063189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.651981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67646 KachelY 71686 0.10114686 -0.29063189 5.795288 -16.651981
    Oben rechts KachelX + 1 67647 KachelY 71686 0.10119480 -0.29063189 5.798035 -16.651981
    Unten links KachelX 67646 KachelY + 1 71687 0.10114686 -0.29067782 5.795288 -16.654612
    Unten rechts KachelX + 1 67647 KachelY + 1 71687 0.10119480 -0.29067782 5.798035 -16.654612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29063189--0.29067782) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dl = 292.620029999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29063189--0.29067782) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dr = 292.620029999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10114686-0.10119480) × cos(-0.29063189) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958062993867017 × 6371000     		do = 292.617098868427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10114686-0.10119480) × cos(-0.29067782) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958049831262566 × 6371000     		du = 292.613078670222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29063189)-sin(-0.29067782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958062993867017-0.958049831262566)×R²
    abs(0.10119480-0.10114686)×1.31626044505007e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31626044505007e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31626044505007e-05×40589641000000     		ar = 85625.0360691922m²