Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67643 / 71687
↖ ↑ ↗
← S 16.654612°
E  5.787048°		 ← 292.55 m → S 16.654612°
E  5.789795°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
S 16.657244°
E  5.787048°		 ← 292.55 m →
85 606 m²		 S 16.657244°
E  5.789795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516078948974609 y=0.546932220458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516078948974609 × 217)
    floor (0.516078948974609 × 131072)
    floor (67643.5)     		tx = 67643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546932220458984 × 217)
    floor (0.546932220458984 × 131072)
    floor (71687.5)     		ty = 71687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67643 / 71687 ti = "17/67643/71687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67643/71687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67643 ÷ 217
    67643 ÷ 131072     		x = 0.516075134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71687 ÷ 217
    71687 ÷ 131072     		y = 0.546928405761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516075134277344 × 2 - 1) × π
    0.0321502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10100305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546928405761719 × 2 - 1) × π
    -0.0938568115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.294859869562965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10100305} λ = 0.10100305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294859869562965))-π/2
    2×atan(0.744635926313)-π/2
    2×0.640059253253807-π/2
    1.28011850650761-1.57079632675     		φ = -0.29067782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10100305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.787048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29067782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.654612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67643 KachelY 71687 0.10100305 -0.29067782 5.787048 -16.654612
    Oben rechts KachelX + 1 67644 KachelY 71687 0.10105098 -0.29067782 5.789795 -16.654612
    Unten links KachelX 67643 KachelY + 1 71688 0.10100305 -0.29072375 5.787048 -16.657244
    Unten rechts KachelX + 1 67644 KachelY + 1 71688 0.10105098 -0.29072375 5.789795 -16.657244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29067782--0.29072375) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dl = 292.620030000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29067782--0.29072375) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dr = 292.620030000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10100305-0.10105098) × cos(-0.29067782) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958049831262566 × 6371000     		do = 292.552041315504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10100305-0.10105098) × cos(-0.29072375) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958036666637048 × 6371000     		du = 292.548021338732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29067782)-sin(-0.29072375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958049831262566-0.958036666637048)×R²
    abs(0.10105098-0.10100305)×1.31646255187023e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31646255187023e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31646255187023e-05×40589641000000     		ar = 85605.9989585487m²